欧拉路径与欧拉回路

Luogu P7771 【模板】欧拉路径

题意

给定一个 \(n\) 个点 \(m\) 条边的有向图,求该图字典序最小的欧拉路径。

数据范围

对于 50% 的数据,\(n,m\le 10^3\)

对于 100% 的数据,\(1\leq u,v\leq n\leq 10^5\)\(m\leq 2\times 10^5\)

Solution:

来系统地整理一下有关欧拉回路和欧拉路径的问题。

什么是欧拉路径?

通过图中所有边恰好一次且行遍所有顶点(允许多次经过同一个点)的通路称为欧拉路径。即一笔画。

如果这条路径的起点和终点重合,那么就是欧拉回路

如何判断图是否有欧拉回路或者欧拉路径?

  • 无向图:因为欧拉路径中,除了起点与终点以外,任意点的“进”“出”次数相等,所以除了两个点为奇点(度数为奇数的点)(终点和起点)以外,其它点的度数均为偶数。

    如果是欧拉回路,奇点的个数应该为0。

  • 有向图:欧拉路径中,最多只有两个点的入度不等于出度。起点出度比入度大1,终点入度比出度大1。

    如果是欧拉回路,所有点的 入度 = 出度 。

寻找欧拉回路或欧拉路径的算法有?

Fluery 算法和 Hierholzer 算法。

这里只讲解 Hierholzer 算法。

Hierholzer 算法自动寻找欧拉回路,在找不到欧拉回路的情况下会找到欧拉路径。前提是得给它指定好起点。

  • 算法流程(无向图):
  1. 判断奇点数。奇点数若为0则任意指定起点,奇点数若为2则指定起点为奇点。

  2. 开始递归函数 Hierholzer(x):

    循环寻找与 \(x\) 相连的边 \(x \to u\):

    删除 \(x \to u\)

    删除 \(u \to x\)

    Hierholzer(u);

    回溯时将 \(x\) 插入答案队列之中

  3. 倒序输出答案队列

举个栗子

1206306-20170818160200881-1164016577.png

对于该图,算法的执行流程如下:

step1: 找到该图没有奇点,从1开始进行 Hierholzer 算法。

step2: 删边 \(1 \to 2\) 递归到2

step3: 删边 \(2 \to 3\) 递归到3

step4: 删边 \(3 \to 7\) 递归到7

step5: 删边 \(7 \to 1\) 递归到1

step6: 1无边,1加入队列,返回

step7: 7加入队列,返回

step8: 删边 \(3 \to 4\) 递归到4

step9: 删边 \(4 \to 5\) 递归到5

step10: 删边 \(5 \to 6\) 递归到6

step11: 删边 \(6 \to 3\) 递归到3

step12: 3加入队列,返回

step13: 6加入队列,返回

step14: 5加入队列,返回

step15: 4加入队列,返回

step16: 3加入队列,返回

step17: 2加入队列,返回

step18: 1加入队列,返回

答案队列为:1 7 3 6 5 4 3 2 1。反向输出即为答案。

有向图除判断是否存在有一点点不同以外同理。


对于该【模板】题,要求按字典序输出答案。所以起点首先要选的尽量小,然后在边的储存上面加一点小 trick。

使用邻接表储存图时,除了用链式前向星还可以用 vector 储存。我们可以把 vector 排序,这样就可以保证该点前往的下一个点是最小值,同时保证了答案的最小值。

sort(a.begin(),a.end(),cmp); //vector排序方法

基于上面对算法的分析,我们可以写出 dfs 基本框架了:

void dfs(int x){
	for(){ //遍历所有与x相邻的点u 
		if(!vis[u]){   //x与u的这条边没被访问过 
			vis[u]=1;    
			dfs(u);  //递归与x相邻的点u 
		}
	}
	s.push(x); //没有边了,将x进入序列 (用栈处理倒序输出)
}

但对于本题来说,这样的时间复杂度过不去的。按照算法,我们不能走重复边,但如果每次都 vis 判断一遍,则会出现很多次访问同一条边,会被毒瘤数据卡掉。

处理:

对于任意一个点 \(u\) 来说,建完图之后访问边是有顺序的,我们新开一个数组 \(st\) 记录访问到哪个位置即可(即该删除哪个位置)。

Code

#include<bits/stdc++.h> //万能头文件
using namespace std;

struct node{
	int u;
	bool vis;  //记录是否被访问过
};
int n,m; 

vector<node> v[100010];
int in[100010],st[100010]; //in表示每个结点入度与出度的差(即入读-出度)

stack<int> s;  //记录答案

void dfs(int x){
	for(int i=0;i<v[x].size();i=max(i+1,st[x])){
		if(v[x][i].vis) continue;
		v[x][i].vis=1;
		st[x]=i+1;
		dfs(v[x][i].u);
	}
	s.push(x);
}

bool cmp(node a,node b){
	return a.u<b.u;
}

int main(){

	cin>>n>>m;
	for(int i=1,x,y;i<=m;i++){
		cin>>x>>y;
		v[x].push_back(node{y,0});
		in[y]++;
		in[x]--;
	}
    
	int fb=0,fe=0,pb=1,pe; 
	for(int i=1;i<=n;i++){  //判断是否存在欧拉路径
		if(in[i]>1||in[i]<-1) {
			printf("No");
			return 0;
		}
		if(in[i]==1) fe++,pe=i;
		if(in[i]==-1) fb++,pb=i;
		if(fb>1||fe>1) {
			printf("No");
			return 0;
		}
	}
    
	for(int i=1;i<=n;i++) sort(v[i].begin(),v[i].end(),cmp);
    
	dfs(pb);
    
	while(s.size()){
		printf("%d ",s.top());
		s.pop();
	}
	return 0;
}

posted @ 2022-10-06 16:45  「ycw123」  阅读(89)  评论(0编辑  收藏  举报