浅谈单调队列

单调队列，顾名思义就是一个元素之间的关系具有单调性的队列

我们通过一道例题来讲解

最大子序和

题目大意

给定一个长度为 $N$ 的整数序列（可能有负数），从中找出一段长度不超过 $M$ 的连续子序列，使得子序列中所有数的和最大。 $N,M\le 3\cdot {10}^5$。

solution

计算“区间和”的问题，一般转化为“两个前缀和相减”的形式进行求解。我们先求出 $S[i]$ 表示序列里前 $i$ 项的和，则连续子序列 $[L，R]$ 中的数的和就等于 $S[R]-S[L-1]$。那么原问题就可以转化为：

找出两个位置 $x,y$ 使 $S[y]-S[x]$ 最大并且 $y-x\le M$。

首先我们枚举右端点 $i$，当 $i$ 固定时，问题就变为：

找到一个左端点 $j$，其中 $j\in [i-m,i-1]$ 并且 $S[j]$ 最小。

不妨比较一下任意两个位置 $j$ 和 $k$，

如果 $k<j<i$ 并且 $S[k]\ge S[j]$，

那么对于所有大于等于 $i$ 的右端点，$k$ 永远不会成最优选择。

这是因为不但 $S[k]\nless S[j]$，而且 $j$ 离 $i$ 更近，长度更不容易超过 $M$，即 $j$ 的生存能力比 $k$ 更强。所以当 $j$ 出现后，$k$ 就完全是一个无用的位置。

以上比较告诉我们，可能成为最优选择的策集合一定是一个

“下标位置递增、对应的前缀和S的值也递增” 的序列。

我们可以用一个队列保存这个序列。随着右端点位置改变,从前向后扫描，我们对每个 $i$ 执行以下三个步骤：

1. 判断队头决策与 $i$ 的距离是否超出 $M$ 的范围，若超出则出队。
2. 此时队头就是右端点为 $i$ 时，左端点 $j$ 的最优选择。
3. 不断删除队尾决策，直到队尾对应的S值小于 $S[i]$。然后把 $i$ 作为一个新的决策入队。

实现方法：STL双端队列 或 手写（此处只展示了双端队列代码）

deque<int> q;
while(q.size()) q.pop_front();
q.push_back(0);
for(int i=1;i<=n;i++){
	while(q.size()&&i-q.front()>k) q.pop_front();
	ans=max(ans,sum[i]-sum[q.front()]);
	while(q.size()&&sum[q.front()]>=sum[i]) q.pop_back();
	q.push_back(i);
}

这就是著名的单调队列算法，因为每个元素至多入队一次、出队一次,所以整个算法的时间复杂度为 $O(N)$。

它的思想也是 在决策集合(队列)中及时排除一定不是最优解的选择。 单调队列也是优化动态规划的一个重要手段。

练习题

滑动窗口 /【模板】单调队列