浅谈单调队列
单调队列，顾名思义就是一个元素之间的关系具有单调性的队列
我们通过一道例题来讲解
最大子序和
题目大意
给定一个长度为 \(N\) 的整数序列（可能有负数），从中找出一段长度不超过 \(M\) 的连续子序列，使得子序列中所有数的和最大。 $N,M \le 3 \cdot 10^5 $。
solution
计算“区间和”的问题，一般转化为“两个前缀和相减”的形式进行求解。我们先求出 \(S[i]\) 表示序列里前 \(i\) 项的和，则连续子序列 \([L，R]\) 中的数的和就等于 \(S[R] - S[L-1]\)。那么原问题就可以转化为：
找出两个位置 \(x,y\) 使 \(S[y] - S[x]\) 最大并且 \(y - x \le M\)。
首先我们枚举右端点 \(i\)，当 \(i\) 固定时，问题就变为：
找到一个左端点 \(j\)，其中 \(j \in [i-m,i-1]\) 并且 \(S[j]\) 最小。
不妨比较一下任意两个位置 \(j\) 和 \(k\)，
如果 \(k<j<i\) 并且 \(S[k] \ge S[j]\)，
那么对于所有大于等于 \(i\) 的右端点，\(k\) 永远不会成最优选择。
这是因为不但 \(S[k] \not < S[j]\)，而且 \(j\) 离 \(i\) 更近，长度更不容易超过 \(M\)，即 \(j\) 的生存能力比 \(k\) 更强。所以当 \(j\) 出现后，\(k\) 就完全是一个无用的位置。
以上比较告诉我们，可能成为最优选择的策集合一定是一个
“下标位置递增、对应的前缀和S的值也递增” 的序列。
我们可以用一个队列保存这个序列。随着右端点位置改变,从前向后扫描，我们对每个 \(i\) 执行以下三个步骤：
- 判断队头决策与 \(i\) 的距离是否超出 \(M\) 的范围，若超出则出队。
- 此时队头就是右端点为 \(i\) 时，左端点 \(j\) 的最优选择。
- 不断删除队尾决策，直到队尾对应的S值小于 \(S[i]\)。然后把 \(i\) 作为一个新的决策入队。
实现方法：STL双端队列 或 手写（此处只展示了双端队列代码）
deque<int> q;
while(q.size()) q.pop_front();
q.push_back(0);
for(int i=1;i<=n;i++){
while(q.size()&&i-q.front()>k) q.pop_front();
ans=max(ans,sum[i]-sum[q.front()]);
while(q.size()&&sum[q.front()]>=sum[i]) q.pop_back();
q.push_back(i);
}
这就是著名的单调队列算法，因为每个元素至多入队一次、出队一次,所以整个算法的时间复杂度为 \(O(N)\)。
它的思想也是 在决策集合(队列)中及时排除一定不是最优解的选择。 单调队列也是优化动态规划的一个重要手段。
练习题
