群论初步

群

群的定义

定义集合 $\mathrm{G}$ 和作用与集合 $\mathrm{G}$ 的二元运算 $\times$

若其满足以下 4 个性质，则称其为一个群$(Group)$，记为 $(G,\times )$：

1. 封闭性 $(\mathsf{C}\mathsf{l}\mathsf{o}\mathsf{s}\mathsf{u}\mathsf{r}\mathsf{e}\mathsf{)}$

若存在 $a$ 和 $b$ 满足 $a\in G,b\in G$ ，则有 $a\times b\in G$

2. 结合律 $(\mathsf{A}\mathsf{s}\mathsf{s}\mathsf{o}\mathsf{c}\mathsf{i}\mathsf{a}\mathsf{t}\mathsf{i}\mathsf{v}\mathsf{i}\mathsf{t}\mathsf{y}\mathsf{)}$

对于任意 $a,b,c$ 有 $(a\times b)\times c=a\times (b\times c)$

3. 单位元 $(\mathsf{I}\mathsf{d}\mathsf{e}\mathsf{n}\mathsf{t}\mathsf{i}\mathsf{t}\mathsf{y}\mathsf{)}$

存在 $e\in G$，满足对于任意 $a\in G$ 有： $a\times e=e\times a=a$

这样的 $e$ 被称为单位元。容易证明单位元唯一

$\mathrm{e}.\mathrm{g}:$ 实数的乘法运算就是一个群，模意义下的乘法运算（不包括 $0$）同样是一个群。这些例子中的单位元均为 $1$。

4. 逆元 $(\mathsf{I}\mathsf{n}\mathsf{v}\mathsf{e}\mathsf{r}\mathsf{s}\mathsf{e}\mathsf{)}$

对于任意 $a\in G$ 存在 $a^{\prime }\in G$ 满足 $a\times a^{\prime }=a^{\prime }\times a=e$

值得注意的是这个 $a^{\prime }$ 是唯一的。读者可以尝试自行证明。

为了更好地理解我们举个例子。

操作集合 $\mathrm{G}=\text{不动},\text{旋转}90\text{degree},\text{旋转}180\text{degree},\text{旋转}270\text{degree}\text{(顺时针)}$ 就是一个群

读者可以根据上面的四条性质来检验。

置换

备注：一个充满魔法的科技。

一些定义

Two−linenotation

双行表示法，大概就是用两个括号括起来，然后令 "元素/置换" 表示一个从【上列】 到 【下列】 的置换。

比如：

其表示的置换为将排列 $12345$ 变为 $25431$ 的一个置换，可以理解为用原本第二个元素代替第一个元素，用原本的第 $5$ 个元素代替第 $2$ 个元素...依次类推。

每个置换都是一个这样的排列，一个长度为 $n$ 的不同的置换的数量为 $n!$。

我们把它换成更一般的形式

这个置换其实就是我们前面讲群的时候所说的一种操作，这种操作表示的含义是将原来的序列中，所有元素 $i$ 变成元素 $p_i$

Polya 定理

对于一个 $n$ 阶置换

我们可以找到其中若干循环节。

循环节:

我们记 $i->a_i$ 为一次变换,若 $i$ 经过 $k$ 次变换后等于 $i$,且任何小于 $k$ 次的变换均不为 $i$

那么我们找到了一个大小为 $k-1$ 的循环节

显然一个 $n$ 阶置换最多有 $n$ 个循环节,最少 $1$ 个循环节,并且每个数只存在于一个循环节内

举个例子:

其中后面用多个括号组合成的表达式,其每对括号内的数形成一个循环节

计数公式:

$$L=\frac{1}{|G|}(m^{c(g_1)}+m^{c(g_2)}+m^{c(g_3)}+\cdots +m^{c(g_s)})$$

解释一下

$L$：计数结果

$G$：置换群

$|G|$：置换群的置换数,即ss,表示总共有ss种置换方式

$m$：对于 $n$ 阶置换,表示置换操作前,$n$ 种元素每个元素的取值,或者理解为每个点的染色方式,共 $m$ 种

$g_i$：表示单个置换,为 $G$ 中的元素

$c()$：函数,返回每个置换中的循环节数

以上为 $Polya$ 定理