群论初步

群的定义

定义集合 G 和作用与集合 G 的二元运算 ×

若其满足以下 4 个性质,则称其为一个群(Group),记为 ( G,× )

  1. 封闭性 (Closure)

若存在 ab 满足 aG,bG ,则有 a×bG

  1. 结合律 (Associativity)

对于任意 a,b,c(a×b)×c=a×(b×c)

  1. 单位元 (Identity)

存在 eG,满足对于任意 aG 有: a×e=e×a=a

这样的 e 被称为单位元。容易证明单位元唯一

e.g: 实数的乘法运算就是一个群,模意义下的乘法运算(不包括 0)同样是一个群。这些例子中的单位元均为 1

  1. 逆元 (Inverse)

对于任意 aG 存在 aG 满足 a×a=a×a=e

值得注意的是这个 a 是唯一的。读者可以尝试自行证明。

为了更好地理解我们举个例子。

操作集合 G=不动,旋转90\degree,旋转180\degree,旋转270\degree(顺时针) 就是一个群

读者可以根据上面的四条性质来检验。

置换

备注:一个充满魔法的科技。

一些定义

Two−linenotation

双行表示法,大概就是用两个括号括起来,然后令 "元素/置换" 表示一个从【上列】 到 【下列】 的置换。

比如:

image.png

其表示的置换为将排列 1 2 3 4 5 变为 2 5 4 3 1 的一个置换,可以理解为用原本第二个元素代替第一个元素,用原本的第 5 个元素代替第 2 个元素...依次类推。

每个置换都是一个这样的排列,一个长度为 n 的不同的置换的数量为 n!

我们把它换成更一般的形式

image.png

这个置换其实就是我们前面讲群的时候所说的一种操作,这种操作表示的含义是将原来的序列中,所有元素 i 变成元素 pi

Polya 定理

对于一个 n 阶置换

我们可以找到其中若干循环节。

循环节:

我们记 i>ai 为一次变换,若 i 经过 k 次变换后等于 i,且任何小于 k 次的变换均不为 i

那么我们找到了一个大小为 k1 的循环节

显然一个 n 阶置换最多有 n 个循环节,最少 1 个循环节,并且每个数只存在于一个循环节内

举个例子:

image.png

其中后面用多个括号组合成的表达式,其每对括号内的数形成一个循环节

计数公式:

L=1|G|(mc(g1)+mc(g2)+mc(g3)++mc(gs))

解释一下

L:计数结果

G:置换群

|G|:置换群的置换数,即ss,表示总共有ss种置换方式

m:对于 n 阶置换,表示置换操作前,n 种元素每个元素的取值,或者理解为每个点的染色方式,共 m

gi:表示单个置换,为 G 中的元素

c():函数,返回每个置换中的循环节数

以上为 Polya 定理

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