群论初步
群
群的定义
定义集合
若其满足以下 4 个性质,则称其为一个群
- 封闭性
若存在
和 满足 ,则有
- 结合律
对于任意
有
- 单位元
存在
,满足对于任意 有:
这样的
- 逆元
对于任意
存在 满足
值得注意的是这个
是唯一的。读者可以尝试自行证明。
为了更好地理解我们举个例子。
操作集合
读者可以根据上面的四条性质来检验。
置换
备注:一个充满魔法的科技。
一些定义
Two−linenotation
双行表示法,大概就是用两个括号括起来,然后令 "元素/置换" 表示一个从【上列】 到 【下列】 的置换。
比如:
其表示的置换为将排列
每个置换都是一个这样的排列,一个长度为
我们把它换成更一般的形式
这个置换其实就是我们前面讲群的时候所说的一种操作,这种操作表示的含义是将原来的序列中,所有元素
Polya 定理
对于一个
我们可以找到其中若干循环节。
循环节:
我们记
那么我们找到了一个大小为
显然一个
举个例子:
其中后面用多个括号组合成的表达式,其每对括号内的数形成一个循环节
计数公式:
解释一下
:计数结果
:置换群
:置换群的置换数,即ss,表示总共有ss种置换方式
:对于 阶置换,表示置换操作前, 种元素每个元素的取值,或者理解为每个点的染色方式,共 种
:表示单个置换,为 中的元素
:函数,返回每个置换中的循环节数
以上为
定理
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