差分约束

1、问题类型描述

• 差分约束是一种特殊的 \(n\) 元一次不等式组，它包含 \(n\) 个变量 \(x_1,x_2,\cdots x_n\) 以及 \(m\) 个约束条件。

  • 每个约束条件是由两个其中的变量做差构成的，形如 \(x_i-x_j \le c_k\)，其中 $ i \not= j, ; 1 \le k \le m ,; c_k \in R$

• 我们要解决的问题是求一组解:

\[x_1=a_1,x_2=a_2,\cdots,x_n=a_n \]

• 使得所有的约束条件得到满足，否则判断出无解。

2、模型转换

• 变形一下：\(x_i \le x_j +c_k\)

  • 容易发现，与最短路中的 \(dis[y] \le dis[x] + z\) 非常相似

• 如何理解？

  • 我们就将不等式问题转换成为一个最短路径问题

  • 我们可以把每个变量 \(x_i\) 看做图中的一个结点，对于每个约束条件 \(x_i-x_j \le c_k\)，看做从结点 \(j\) 向结点 \(i\) 连一条长度为 \(c_k\) 的有向边。

  • 注意到，如果 \(\{ a_1,a_2,\cdots,a_n\}\) 是该差分约束系统的一组解，那么对于任意的常数 \(d\)，\(\{ a_1+d,a_2+d,\cdots,a_n+d\}\) 显然也是该差分约束系统的一组解，因为这样做差后 \(d\) 刚好被消掉。

3、不等式组无解

• 什么情况下，上面的多项式组无解？

• 在我们转换的模型中，如果一个点的最短距离 \(dis[i]\) 不存在，即负无穷大 → 存在负环

• 在原来的方程组里面，就是几个变量相互约束

• 所以就是利用 \(SPFA\) 判断负环的办法即可，即存在 \(num[i]>n\)

4、为什么不能用Dijkstra

\(Dijkstra\) 算法不能处理负数边权，已经确立 \(dis[i]\) 的点，若有负数边权，可能会被后续进来的点给更新掉。
故只能使用 \(Bellman-ford\) 算法和 \(SPFA\) 算法

5、拓展

• 题目给的形式为 \(x_i-x_j \le c_k\)

• 若为 \(x_i-x_j \ge c_k\)

  • 则将两边同时乘以负号，有 \(x_j-x_i \le -c_k\)

• 若为 \(x_i-x_j = c_k\) ，即上面二者的统一

  • \(x_i-x_j \le c_k\) 且 \(x_j-x_i \le -c_k\) ，建两条边即可

6、代码实现

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1e5 + 10;
struct node{
  int a,b;
};
int n, m;
vector<node> v[N];
int num[N], dis[N];
bool in[N];

int main() {
    cin >> n >> m;
    queue<int> q;
    for (int i = 1; i <= m; i ++ ) {
        int x, y, w;
        cin >> y >> x >> w;
        v[x].push_back({y, w});
    }
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        v[0].push_back({i, 0});
    }
    memset(dis, 0x3f, sizeof dis);
    dis[0] = 0;
    q.push(0);
    while (!q.empty()) {
        int x = q.front();
        q.pop();
        num[x]++;
        in[x] = false;
        if (num[x] > n + 1) {
            cout << "NO";
            exit(0);
        }
        for (int i = 0; i < v[x].size(); i++) {
            int u = v[x][i];            
            if (dis[u] > dis[x] + v[x][i].b) {
                dis[u] = dis[x] + v[x][i].b;
                if (!in[u]) {
                    in[u] = true;
                    q.push(u);
                }
            }
        }
    }
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        cout << dis[i] <<" ";
    }
    return 0;
}