差分约束

1、问题类型描述

差分约束是一种特殊的 $n$ 元一次不等式组，它包含 $n$ 个变量 $x_{1}, x_{2}, \dots x_{n}$ 以及 $m$ 个约束条件。
- 每个约束条件是由两个其中的变量做差构成的，形如 $x_{i} - x_{j} \leq c_{k}$ ，其中 $i \neq j,; 1 \leq k \leq m,; c_{k} \in R$
我们要解决的问题是求一组解:

x_{1} = a_{1}, x_{2} = a_{2}, \dots, x_{n} = a_{n}

使得所有的约束条件得到满足，否则判断出无解。

2、模型转换

变形一下： $x_{i} \leq x_{j} + c_{k}$
- 容易发现，与最短路中的 $d i s [y] \leq d i s [x] + z$ 非常相似
如何理解？
- 我们就将不等式问题转换成为一个最短路径问题
- 我们可以把每个变量 $x_{i}$ 看做图中的一个结点，对于每个约束条件 $x_{i} - x_{j} \leq c_{k}$ ，看做从结点 $j$ 向结点 $i$ 连一条长度为 $c_{k}$ 的有向边。
- 注意到，如果 ${a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}}$ 是该差分约束系统的一组解，那么对于任意的常数 $d$ ， ${a_{1} + d, a_{2} + d, \dots, a_{n} + d}$ 显然也是该差分约束系统的一组解，因为这样做差后 $d$ 刚好被消掉。

3、不等式组无解

什么情况下，上面的多项式组无解？
在我们转换的模型中，如果一个点的最短距离 $d i s [i]$ 不存在，即负无穷大 → 存在负环
在原来的方程组里面，就是几个变量相互约束
所以就是利用 $S P F A$ 判断负环的办法即可，即存在 $n u m [i] > n$

4、为什么不能用Dijkstra

$D i j k s t r a$ 算法不能处理负数边权，已经确立 $d i s [i]$ 的点，若有负数边权，可能会被后续进来的点给更新掉。
故只能使用 $B e l l m a n - f o r d$ 算法和 $S P F A$ 算法

5、拓展

题目给的形式为 $x_{i} - x_{j} \leq c_{k}$
若为 $x_{i} - x_{j} \geq c_{k}$
- 则将两边同时乘以负号，有 $x_{j} - x_{i} \leq - c_{k}$
若为 $x_{i} - x_{j} = c_{k}$ ，即上面二者的统一
- $x_{i} - x_{j} \leq c_{k}$ 且 $x_{j} - x_{i} \leq - c_{k}$ ，建两条边即可

6、代码实现

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1e5 + 10;
struct node{
  int a,b;
};
int n, m;
vector<node> v[N];
int num[N], dis[N];
bool in[N];

int main() {
    cin >> n >> m;
    queue<int> q;
    for (int i = 1; i <= m; i ++ ) {
        int x, y, w;
        cin >> y >> x >> w;
        v[x].push_back({y, w});
    }
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        v[0].push_back({i, 0});
    }
    memset(dis, 0x3f, sizeof dis);
    dis[0] = 0;
    q.push(0);
    while (!q.empty()) {
        int x = q.front();
        q.pop();
        num[x]++;
        in[x] = false;
        if (num[x] > n + 1) {
            cout << "NO";
            exit(0);
        }
        for (int i = 0; i < v[x].size(); i++) {
            int u = v[x][i];            
            if (dis[u] > dis[x] + v[x][i].b) {
                dis[u] = dis[x] + v[x][i].b;
                if (!in[u]) {
                    in[u] = true;
                    q.push(u);
                }
            }
        }
    }
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        cout << dis[i] <<" ";
    }
    return 0;
}