积性函数

定义

如果定义在正整数域上的函数 \(f(n)\) 满足：

对于互质的 \(p, q\)，有 \(f(pq) = f(p)f(q)\)

那么我们说 \(f(n)\) 是积性函数

特别地，如果 \(p, q\) 是任意的，我们说 \(f(n)\) 是完全积性函数

常见的积性函数

• 常函数 \(1(n) = 1\)
• 单位函数 \(id(n) = n\)
• 狄利克雷单位函数 \(ε(n) = (n == 1)?1 : 0\)
• 约数和函数 \(σ(n)\)，表示 \(n\) 的约数之和
• 约数个数函数 \(d(n)\)，表示 \(n\) 的约数个数
• 欧拉函数 \(\varphi (n)\)
• 莫比乌斯函数 \(μ(n)\)

积性函数的乘积也是积性函数！