积性函数

定义

如果定义在正整数域上的函数 $f(n)$ 满足：

对于互质的 $p,q$，有 $f(pq)=f(p)f(q)$

那么我们说 $f(n)$ 是积性函数

特别地，如果 $p,q$ 是任意的，我们说 $f(n)$ 是完全积性函数

常见的积性函数

• 常函数 $1(n)=1$
• 单位函数 $id(n)=n$
• 狄利克雷单位函数 $\epsilon (n)=(n==1)?1:0$
• 约数和函数 $\sigma (n)$，表示 $n$ 的约数之和
• 约数个数函数 $d(n)$，表示 $n$ 的约数个数
• 欧拉函数 $\phi (n)$
• 莫比乌斯函数 $\mu (n)$

积性函数的乘积也是积性函数！