字符串哈希

下面介绍的字符串 $\mathrm{H}\mathrm{a}\mathrm{s}\mathrm{h}$ 函数把一个任意长度的字符串映射成一个非负整数，并且其冲突概率几乎为零。

取一固定值 $P$，把字符串看做 $P$ 进制数，并分配一个大于零的数值，代表每种字符。 一般来说，我们分配的数值都远小于 $P$。例如，对于小写字母构成的字符串，可以令 $a=1,b=2,\cdots ,z=26$。

取一固定值 $M$，求出该 $P$ 进制数对 $M$ 的余数，作为该字符串的 $\mathrm{H}\mathrm{a}\mathrm{s}\mathrm{h}$ 值。

通常来说，根据“生日悖论”，在采取单质数作为模数时，元素个数不能超过 $\mathcal{O}=(\sqrt{P})$ 个。而采用多个大质数为模数时，元素个数则不能超过 $\mathcal{O}=(\sqrt{\prod P})$ 个。而这一数量级远远超过了算法竞赛中可能的规模，因此我们可以认为多模数时是不会发生冲突的。所以，可以认为哈希值相同的字符串就是相同的。

一般来说，我们取 $P=131$ 或 $P=13331$，此时 $\mathrm{H}\mathrm{a}\mathrm{s}\mathrm{h}$值产生冲突的概率极低，只要 $\mathrm{H}\mathrm{a}\mathrm{s}\mathrm{h}$值相同，我们就可以认为原字符串是相等的。通常我们取 $M=2^{64}$，即直接使用 $\mathrm{u}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{n}\mathrm{e}\mathrm{d}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{g}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{g}$ 类型存储这个 $\mathrm{H}\mathrm{a}\mathrm{s}\mathrm{h}$ 值，在计算时不处理算术溢出问题，产生溢出时相当于自动对 $2^{64}$ 取模，这样可以避免低效的取模 $(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d})$ 运算。

除了在极特殊构造的数据上，上述 $\mathrm{H}\mathrm{a}\mathrm{s}\mathrm{h}$ 算法很难产生冲突，一般情况下上述 $\mathrm{H}\mathrm{a}\mathrm{s}\mathrm{h}$ 算法完全可以出现在题目的标准解答中。我们还可以多取一些恰当的 $P$ 和 $M$ 的值（例如大质数)，多进行几组 $\mathrm{H}\mathrm{a}\mathrm{s}\mathrm{h}$ 运算，当结果都相同时才认为原字符串相等，就更加难以构造出使这个 $\mathrm{H}\mathrm{a}\mathrm{s}\mathrm{h}$ 产生错误的数据。

对字符串的各种操作，都可以直接对 $P$ 进制数进行算术运算反映到 $\mathrm{H}\mathrm{a}\mathrm{s}\mathrm{h}$ 值上。

如果我们已知字符串 $S$ 的 $\mathrm{H}\mathrm{a}\mathrm{s}\mathrm{h}$ 值为 $H(S)$，那么在 $S$ 后添加一个字符 $c$ 构成的新字符串 $S+c$ 的 $\mathrm{H}\mathrm{a}\mathrm{s}\mathrm{h}$ 值就是$H(S+c)=(H(S)\times P+value[c])modM$。其中乘
$P$ 就相当于 $P$ 进制下的左移运算，$value[c]$ 是我们为 $c$ 选定的代表数值。
如果我们已知字符串 $S$ 的 $\mathrm{H}\mathrm{a}\mathrm{s}\mathrm{h}$ 值为 $H(S)$，字符串 $S+T$ 的 $\mathrm{H}\mathrm{a}\mathrm{s}\mathrm{h}$ 值为 $H(S+T)$，那么字符串 $T$ 的 $\mathrm{H}\mathrm{a}\mathrm{s}\mathrm{h}$ 值 $H(T)=(H(S+T)-H(S)\times p^{length(T)})modM$。这就相当于通过 $P$ 进制下在 $S$ 后边补 $0$ 的方式，把 $S$ 左移到与 $S+T$ 的左端对齐，然后二者相减就得到了 $H(T)$。

例如，$S="abc",c="d",T="xyz",$则：

$S$ 表示为 $P$ 进制数：1 2 3

$H(S)=1\cdot P^2+2\cdot P+3$

$H(S+C)=1\cdot P^3+2\cdot P^2+3\cdot P+4=H(S)\cdot P+4$

$S+T$ 表示为 $P$ 进制数：1 2 3 24 25 26

$H(S+T)=1\cdot P^5+2\cdot P^4+3\cdot P^3+24\cdot P^2+25\cdot P+26$

$S$ 在 $P$ 进制下左移 $length(T)$ 位：1 2 3 0 0 0

二者相减就是 $T$ 表示为 $P$ 进制数：24 25 26

$H(T)=H(S+T)-(1\cdot P^2+2\cdot P+3)\cdot P^3=24\cdot P^2+25\cdot P+26$

根据上面两种操作，我们可以通过 $\mathcal{O}(N)$ 的时间预处理出字符串所有前缀 $\mathrm{H}\mathrm{a}\mathrm{s}\mathrm{h}$ 值，并在 $\mathcal{O}(1)$ 的时间内查询他的任意子串的 $\mathrm{H}\mathrm{a}\mathrm{s}\mathrm{h}$ 值。

模数:$1e9+7,1e9+9,19260817,998244353,1e7+9,1e7+7,5e5+9$
进制数:$131,13331$

code:

ull hashh(char s[]){
    int l=strlen(s);
    ull num=0;
    for(int i=0;i<l;++i)
        num=num*base+(ull)s[i];
    return num&0x7fffffff;
}

code:

ull f[maxn],bas[maxn];
for(int i=1;i<=n;++i)
{
    f[i]=f[i-1]*base+s[i]-'a'+1;//存储字符串从前往后的哈希值
    bas[i]=bas[i-1]*base;
}
bool check(int l1,int r1,int l2,int r2)
{
    return f[r1]-f[l1-1]*bas[r1-l1+1]==f[r2]-f[l2-1]*bas[r2-l2+1];//比较两段是否相同
}