dfs序——Tree to Line 的基础
看到标题的 Tree to Line 是不是会想到替罪羊树的重构函数 “TtoL” 但其实这俩玩意八竿子打不着
基本内容
我们经常会遇到树的问题，但树是非线性的结构，操作起来始终还是麻烦，如果我们能把树改造成线性结构，有什么方法？对，就是今天要讲的DSF序；
dfs序用于树状结构中，如图：
图中红色序号为每个点对应的dfs序序号，黑色序号为每个点默认的序号，我称之为节点序序号（下文同）
可见，dfs序如其名，dfs序序号是按照dfs顺序标记的，所以说给每个节点安排上dfs序序号也很简单，只要dfs的时候顺便标上就行了，dfs第多少次就给dfs到的点标为多少。
void dfs(int x,int fa){
dfn[x]=++Time;
size[x]=1;
for(int i=head[x];i;i=nxt[i]){
int u=to[i];
if(u==fa) continue;
dfs(u,x);
size[x]+=size[u];
}
}
dfn存储的就是每个节点的dfs序
Time就是时间戳 和Tarjan中的时间戳大同小异
size是每棵子树的大小
这样做有什么好处？
不难发现对于一颗子树，它内部的dfs序是连续的。所以对于这样的操作：
-
给x及其子树加上一个值
-
查询x及其子树点权和
我们就可以转化为在区间上的修改和查询，用线段树来解决。
每棵子树对应的dfs序区间就是 [dfn[x] , dfn[x]+size[x]-1]
一些题
t1
对某个节点x权值加上一个数w
查询某个子树x里所有点权的和
t2
对子树x内的所有节点权值加上一个数w
查询某个节点x的权值
t3
对某个子树x内所有的节点权值加上一个数w
查询某个子树x里所有点权的和
前三题用线段树维护一下就能解决，不再赘述。
t4
节点x的权值加上一个数w
查询节点x到节点y的路径上权值之和
每个点不再只存自己的值，而是存自己到根节点的路径上所有点的权值和。
对于单点修改，考虑其贡献。
当我们给节点 x 的权值加上一个数 w 时，x 的子树内所有节点到根的权值和都会增加 w。
所以单点修改时我们给子树 x 内所有的节点加上 w。
对于路径查询，考虑如何求。
因为每个点存自己到根节点的路径上所有点的权值和。
所以我们可以找到 x,y 的最近公共祖先LCA
如图，a[x]+a[y] 即红色和橙色部分使 lca 多算了一次，lca以上的节点多算了两次，减去蓝色和绿色部分就是我们要的答案，即 -a[lca]-a[fa[lca]]
那么 a[x]+a[y]-a[lca]-a[fa[lca]] 就是路径上的权值和
t5
节点x到节点y的路径上所有节点的权值加上一个数w
查询节点x的值。
利用差分思想，每个路径修改转化为四个点的修改
a[x]+=w,a[y]+=w,a[lca]-=w,a[fa[lca]]-=w
而单点的值就是子树的和。
t6
节点x到节点y的上所有节点的权值加上一个数w
查询子树x内所有节点的权值之和。
如果用 \(dep\) 表示结点深度，那么 ch 到 x 的树链上共有 \(dep_{ch} - dep_x + 1\) 个结点。
每一条树链上的修改对子树的贡献为 \((dep_{ch}-dep_x+1) \times v_{ch}\)，所有树链的贡献之和即为 \(\sum [(dep_{ch}-dep_x+1) \times v_{ch}]\)。
拆分式子可得
所以用两个线段树，分别维护 \(\sum [(dep_{ch}+1) \times v_{ch}]\) 和 \(\sum v_{ch}\)。
（每次修改时直接在当前节点上加，查询时对子树求和。即单点修改区间求和）
每个路径修改仍然转化为几个点的修改，具体如何转化？首先我们肯定要把 \(x,y\) 两个端点的值更新，那 \(lca\) 怎么操作？我们先看看不操作时我们的答案和正确答案差在哪。
原图：模拟求解的正确答案
t1：维护 \(\sum [(dep_{ch}+1) \times v_{ch}]\)
t2：维护 \(\sum v_{ch}\)
my：我们根据公式求解的答案 \((t1-dep \times t2)\) 的直观体现
首先，给定一次修改 （x，y，v） 表示把路径 xy 上所有点点权加上 \(v\)
对于 dep 小于 \(lca\) 的部分套公式求解的答案与正确答案一致
如图，初始全为空
对于 \(x,y\) 分别维护 t1，t2
对 \(lca\) 进行查询，可以发现比答案多了 \(v\)
对 \(lca\) 的父亲 进行查询，可以发现比答案多了 \(v + 2 \times v=3 \times v\)
如果再往上一个进行查询，会比答案多 \(v + 2 \times v + 2 \times v=5 \times v\)
之所以会如此，是因为首先lca被多算了一次，而在它之上的每个节点都被多算了两次
但我们不能在每次查询时找之前每次更新的 lca 并减去多余的部分（不好找还费时间），所以只能在更新时在 lca 上做做手脚。
所以我们在维护t1、t2时，在lca这一节点上，t1减去多余的部分，同时t2也要跟着更新。
之前的updata
void Updata(int x,int y,LL val){
int lca=LCA(x,y);
t.updata(1,1,n,dfn[x],dfn[x],val*(d[x]+1));
t.updata(1,1,n,dfn[y],dfn[y],val*(d[y]+1));
t2.updata(1,1,n,dfn[x],dfn[x],val);
t2.updata(1,1,n,dfn[y],dfn[y],val);
}
现在的updata
void Updata(int x,int y,LL val){
int lca=LCA(x,y);
t.updata(1,1,n,dfn[x],dfn[x],val*(d[x]+1));
t.updata(1,1,n,dfn[y],dfn[y],val*(d[y]+1));
t.updata(1,1,n,dfn[lca],dfn[lca],-(d[lca]+1)*2*val+val);
t2.updata(1,1,n,dfn[x],dfn[x],val);
t2.updata(1,1,n,dfn[y],dfn[y],val);
t2.updata(1,1,n,dfn[lca],dfn[lca],-2*val);
}
这部分真的超难理解，建议自己画图推一遍
放下代码吧
#include<bits/stdc++.h>
#define LL long long
using namespace std;
const int N=200010;
int f[N][26],d[N],dfn[N],cnt,siz[N],n,m;
int head[N],nxt[N<<1],to[N<<1],tot=1;
void add(int x,int y){
to[++tot]=y;
nxt[tot]=head[x];
head[x]=tot;
}
void dfs1(int x,int fa,int deep){
f[x][0]=fa;
d[x]=deep;
dfn[x]=++cnt;
siz[x]=1;
for(int i=head[x];i;i=nxt[i]){
int u=to[i];
if(u==fa) continue;
dfs1(u,x,deep+1);
siz[x]+=siz[u];
}
}
void getfather(){//倍增求LCA
for(int j=1;j<=log2(n);j++)
for(int i=1;i<=n;i++)
f[i][j]=f[f[i][j-1]][j-1];
}
struct TREE{//两颗线段树
LL sum[N<<2],add[N<<2];
void pushup(int x){
sum[x]=sum[x<<1]+sum[x<<1|1];
}
void pushdown(int x,int l,int r){
int mid=(l+r)>>1;
add[x<<1]+=add[x];
add[x<<1|1]+=add[x];
sum[x<<1]+=add[x]*(mid-l+1);
sum[x<<1|1]+=add[x]*(r-mid);
add[x]=0;
}
void updata(int x,int l,int r,int L,int R,LL val){
if(l>=L&&r<=R){
add[x]+=val;
sum[x]+=val*(r-l+1);
return;
}
int mid=l+r>>1;
pushdown(x,l,r);
if(L<=mid) updata(x<<1,l,mid,L,R,val);
if(R>mid) updata(x<<1|1,mid+1,r,L,R,val);
pushup(x);
}
LL query(int x,int l,int r,int L,int R){
if(L>R) return 0;
if(l>=L&&r<=R) return sum[x];
int mid=l+r>>1;LL res=0;
pushdown(x,l,r);
if(L<=mid) res+=query(x<<1,l,mid,L,R);
if(R>mid) res+=query(x<<1|1,mid+1,r,L,R);
return res;
}
}t,t2;//t就是上文的t1
int LCA(int x,int y){//倍增求LCA
if(d[x]<d[y]) swap(x,y);
for(int i=log2(n);i>=0;i--){
if(d[f[x][i]]>=d[y]) x=f[x][i];
}
if(x==y) return x;
for(int i=log2(n);i>=0;i--){
if(f[x][i]!=f[y][i]) x=f[x][i],y=f[y][i];
}
return f[x][0];
}
void Updata(int x,int y,LL val){
int lca=LCA(x,y);
t.updata(1,1,n,dfn[x],dfn[x],val*(d[x]+1));
t.updata(1,1,n,dfn[y],dfn[y],val*(d[y]+1));
t.updata(1,1,n,dfn[lca],dfn[lca],-(d[lca]+1)*2*val+val);
t2.updata(1,1,n,dfn[x],dfn[x],val);
t2.updata(1,1,n,dfn[y],dfn[y],val);
t2.updata(1,1,n,dfn[lca],dfn[lca],-2*val);
}
LL Query(int x){
return t.query(1,1,n,dfn[x],dfn[x]+siz[x]-1)-d[x]*t2.query(1,1,n,dfn[x],dfn[x]+siz[x]-1);
}
int main(){
scanf("%d%d",&n,&m);
for(int i=1,x,y;i<n;i++){
scanf("%d%d",&x,&y);
add(x,y);
add(y,x);
}
dfs1(1,0,1);
getfather();
int opt,x,y;
LL z;
while(m--){
scanf("%d",&opt);
if(opt==1){
scanf("%d%d%lld",&x,&y,&z);
Updata(x,y,z);
}else{
scanf("%d",&x);
printf("%lld\n",Query(x));
}
}
return 0;
}
累死了
t7
节点x子树内所有节点的权值加上一个数w
查询节点x到节点y路径上所有节点的权值之和。
没做，挖坑待填……
