Lucas定理（卢卡斯定理）

Lucas定理

• 计算 $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})$ $\mathrm{mod}P$，其中 $P$ 为质数。

• $$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})\equiv (\genfrac{}{}{0ex}{}{n\mathrm{\%}P}{k\mathrm{\%}P})\times (\genfrac{}{}{0ex}{}{\lfloor n/P\rfloor }{\lfloor k/P\rfloor })(\mathrm{mod}P)$$

exLucas

• 计算 $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})$ $\mathrm{mod}P$，其中 $P$ 不保证为质数。

• 先将 $P$ 分解质因数，$P=\prod p_i^{k_i}$。

• 分别计算 $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})$ $\mathrm{mod}{p}_i^{k_i}$ 的结果再用CRT合并起来就可以。

• 而 $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})=\frac{n!}{k!(n-k)!}$，因此只需要分别算出 $n!\mathrm{mod}{p}_i^{k_i}$、$k!\mathrm{mod}{p}_i^{k_i}$、$(n-k)!\mathrm{mod}{p}_i^{k_i}$ 即可，同时存储分子分母中 $p_i$ 的次数用于约分。