概率与期望

（〇）写在前面的话

所谓概率/期望题，本质上还是dp。实际上，在很多情况下，概率/期望与计数dp是一样的。

（一）有限情况下的概率/期望

这部分题目是与计数类dp最相关的。

1.1 关于古典概型

关于古典概型是以这样的假设为基础的，即随机现象所能发生的事件是有限的、互不相容的，而且每个基本事件发生的可能性相等。

什么意思呢，举个例子：

掷一枚硬币，总共只有两种情况：正面朝上和反面朝上（不要抬杠说可以立起来）。所以，我们说“掷硬币”这一随机现象能发生的事件是有限的。

同样，掷一枚硬币，每次得到的结果只能是正面朝上或者反面朝上，不可能出现正、反两面同时朝上的情况。那么我们就称这两个事件是互不相容的（或者说这两个事件互斥）。

由此，可以得到古典概型的定义式：

\[P(A)= \frac m n \]

其中 \(n\) 表示该试验中所有可能出现的结果的总数目。\(m\) 表示事件 \(A\) 包含的试验结果数。这种定义概率的方法称为概率的古典定义。

那么上面例子中硬币正面朝上的概率就可以用古典概型表示：

\[P(\text{正面朝上})= \frac 1 2 \]

其中 \(n=2\) 是因为总共有两种可能的结果，\(m=1\) 是因为正面朝上的结果数有一个。

当然，我们要化成最简分数。

至此，我们可知古典概型有以下基本特征：

1. 可知性，可由演绎或外推法得知随机事件所有可能发生的结果及其发生的次数。
2. 无需试验，即不必做统计试验即可计算各种可能发生结果概率。
3. 准确性，即按古典概率方法计算的概率是没有误差的。
4. 有限性。
5. 等可能性。

1.2 关于数学期望

在概率论和统计学中，数学期望（\(mean\)）（或均值，亦简称期望）是试验中每次可能结果的概率乘以其结果的总和，是最基本的数学特征之一。它反映随机变量平均取值的大小。

数学期望的定义式（以下式子是在古典概率的前提下得到的）为：

假设发生的所有事件的取值为 \(X_1,X_2,...,X_{n-1},X_{n}\)，发生的概率为 \(P(X_1),P(X_2),...,P(X_{n-1}),P(X_{n})\)，那么：

\[E(x)=\sum_{i=1}^{n}P(X_i)\times X_i \]

其中 \(E(X)\) 表示随机现象 \(X\) 的数学期望。

期望值像是随机试验在同样的机会下重复多次，所有那些可能状态平均的结果，便基本上等同“期望值”所期望的数。期望值可能与每一个结果都不相等。换句话说，期望值是该变量输出值的加权平均。

期望值并不一定包含于其分布值域，也并不一定等于值域平均值。

例如，掷一枚公平的六面骰子，其每次“点数”的期望值是3.5，计算如下：

\[E(x)=1\times\dfrac{1}{6}+2\times\dfrac{1}{6}+3\times\dfrac{1}{6}+4\times\dfrac{1}{6}+5\times\dfrac{1}{6}+6\times\dfrac{1}{6}=3.5 \]

不过如上所说明的，3.5虽是“点数”的期望值，但却不属于可能结果中的任一个，没有可能掷出此点数。

虽然如此，但只要掷骰子的次数足够大，那么平均每次得到的点数将稳定在 \(E(x)\) 附近。