线性代数：向量空间学习笔记

线性代数及其应用.David C. Lay

1.向量空间与子空间

定义：向量空间
一个向量空间是由一些被称为向量的对象构成的非空集合 $V$ ，在这个集合上定义两个运算，称为加法和标量乘法（标量取实数），服从以下公理（或法则），这些公理必须对 $V$ 中所有向量 $\boldsymbol{u}$ ， $\boldsymbol{v}$ ， $\boldsymbol{w}$ 及所有标量 $c$ 和 $d$ 均成立。

$\boldsymbol{u}$ ， $\boldsymbol{v}$ 之和表示为 $\boldsymbol{u}+\boldsymbol{v}$ ，仍在 $V$ 中。
$\boldsymbol{u}+\boldsymbol{v}=\boldsymbol{v}+\boldsymbol{u}$ .
$(\boldsymbol{u}+\boldsymbol{v})+\boldsymbol{w}=\boldsymbol{u}+(\boldsymbol{v}+\boldsymbol{w})$ .
$V$ 中存在一个零向量 $\bf{0}$ ，使得 $\boldsymbol{u}+\boldsymbol{0}=\boldsymbol{u}$ .
对 $V$ 中每个向量 $\boldsymbol{u}$ ，存在 $V$ 中向量 $-\boldsymbol{u}$ ，使得 $\boldsymbol{u}+(-\boldsymbol{u})=\bf{0}$ .
$\boldsymbol{u}$ 与标量 $c$ 的标量乘法记为 $c\boldsymbol{u}$ ，仍在 $V$ 中。
$c(\boldsymbol{u}+\boldsymbol{v})=c\boldsymbol{u}+c\boldsymbol{v}$ .
$(c+d)\boldsymbol{u}=c\boldsymbol{u}+d\boldsymbol{u}$ .
$c(d\boldsymbol{u})=(cd)\boldsymbol{u}$ .
$1\boldsymbol{u}=\boldsymbol{u}$ .

定义：子空间
向量空间 $V$ 的一个子空间是 $V$ 的子集 $H$ ，且满足以下三个性质：

定理1：

2.零空间、列空间和线性变换

定义：零空间

定理2：

定义：列空间

定理3：

定义：线性变换

3.线性无关集和基

定义：线性无关和线性相关

定理4

定义：基

定理5：生成集定理

矩形框
矩阵的行初等变换不影响矩阵的列的线性相关关系。

定理6：
矩阵 $A$ 的主元列构成 ${\rm Col}\ A$ 的一个基。

4.坐标系

定理7（惟一表示定理）：

定义：坐标

坐标变换矩阵

定理8：

5.向量空间的维数

定理9：

定理10：
若向量空间 $V$ 有一组基含有 $n$ 个向量，则 $V$ 的每一组基一定恰好含有 $n$ 个向量.

定义：维数

定理11：

定理12（基定理）：
令 $V$ 是一个 $p$ 维向量空间， $p\ge 1$ ， $V$ 中任意含有 $p$ 个元素的线性无关集必然是 $V$ 的一个基.任意含有 $p$ 个元素且生成 $V$ 的集合自然是 $V$ 的一个基.

矩形框

6.秩

行空间定义：若 $A$ 是一个 $m\times n$ 矩阵， $A$ 的每一行具有 $n$ 个元素，即可以视为 $\mathbb{R}^n$ 中一个向量。其行向量的所有线性组合的集合称为 $A$ 的行空间，记为 $\text{Row} A$ .
注：可以用 $\text{Col} A^{\text{T}}$ 代替 $\text{Row} A$ .