单调队列入门
本篇博客转自我很久以前在洛谷上写的一篇博客，原地址：https://www.luogu.org/blog/ybwowen/dan-diao-dui-lie
单调队列是一种队列（废话）
其中队列的元素保证是单调递增或者是单调递减的
那么队首的元素不就是最小（或最大）的吗？
我们结合具体的题目来看看吧：
传送门：P1886 滑动窗口
题目描述
现在有一堆数字共N个数字（N<=10^6），以及一个大小为k
的窗口。现在这个从左边开始向右滑动，每次滑动一个单
位，求出每次滑动后窗口中的最大值和最小值。
例如：
The array is [1 3 -1 -3 5 3 6 7], and k = 3.
输入格式：
输入一共有两行，第一行为n,k。
第二行为n个数(<INT_MAX).
输出格式：
输出共两行，第一行为每次窗口滑动的最小值
第二行为每次窗口滑动的最大值
输入输出样例
输入样例#1：
8 3
1 3 -1 -3 5 3 6 7
输出样例#1：
-1 -3 -3 -3 3 3
3 3 5 5 6 7
这里我们只讨论最大值，最小值原理一样的
解法1：
如果按照常规方法，我们在求a[i] 即i~i+k-1区间内的最值
时，要把区间内的所有数都访问一遍，时间复杂度约为
\(O(nk)\)。有没有一个快一点的算法呢？
解法2:
很明显，当我们在计算区间\([i-k+1,i]\)的最大值时，是不
是区间\([i-k+1,i-1]\)我们之前已经计算过了？那么我们
是不是要保存上一次的结果呢（主要是最大值）？
这时，单调队列登场——
单调队列主要有两个操作：删头和去尾
**1.删头 **
如果队列头的元素离开了我们当前操作的区间，那么这
个元素就没有任何用了，我们就要把它删掉
2.去尾
假设即将进入队列的元素为\(X\)，队列尾指针为\(tail\)，
这时我们要比较二者的大小：
1* \(X<q[tail]\)
此时q仍然保证着递减性，故直接将\(X\)插入队列尾
2*\(X>=q[tail]\)
此时，队列递减性被打破，此时我们做一下操作：
① 弹出队尾元素
因为当前的\(q[tail]\)不但不是最大值，对于以后的情况
也不如\(X\)更优，所以要弹出
这好比当前队列尾部的元素是个能力不足的老兵，而新加入
的新兵更年轻，更能打，当然不要老兵了
②重复执行①，直到满足\(X<q[tail]\)或者队列为空为止
③将\(X\)插入队列
对于样例而言：
[1 3 -1] -3 5 3 6 7
q={1},{3},{3,-1} output:3//分别为每次操作的结果
1 [3 -1 -3] 5 3 6 7
q={3,-1,-3} output:3
1 3 [-1 -3 5] 3 6 7
q={-1,-3},{-1,5},{5} output:5
1 3 -1 [-3 5 3] 6 7
q={5,3} output:5
1 3 -1 -3 [5 3 6] 7
q={5,6},{6} output:6
1 3 -1 -3 5 [3 6 7]
q={6} output:7
由于每个元素最多入队一次，出队一次（为什么？），所以
时间复杂度为\(O(n)\)
当然，这题还可以用ST表和线段树来做，但都没有单调队列
方便
实现：
由于要对队首和队尾进行维护，所以我们需要使用
双端队列
可以用STL中的deque，也可以手写
代码：//使用deque
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,m;
int read(){//快读
char ch=getchar();
int f=1; int sum=0;
while(ch<'0'||ch>'9'){
if(ch=='-') f=-1;
ch=getchar();
}
while(ch>='0'&&ch<='9') sum=sum*10+ch-'0',ch=getchar();
return f*sum;
}
deque<int>q;
int a[1000005];
int main(){
n=read(); m=read();
for(int i=1;i<=n;i++) a[i]=read();
for(int i=1;i<=n;i++){//最小值
while(!q.empty()&&a[q.back()]>a[i]) q.pop_back();//去尾
q.push_back(i);
if(i>=m){
while(!q.empty()&&q.front()<=i-m) q.pop_front();//删头
printf("%d ",a[q.front()]);
}
}
printf("\n");
while(!q.empty()) q.pop_front();
for(int i=1;i<=n;i++){//最大值
while(!q.empty()&&a[q.back()]<a[i]) q.pop_back();//去尾
q.push_back(i);
if(i>=m){
while(!q.empty()&&q.front()<=i-m) q.pop_front();//删头
printf("%d ",a[q.front()]);
}
}
printf("\n");
return 0;
}
应用
单调队列是一种小的数据结构，一半不单独出现，
但是经常我们会遇到单调队列优化的DP
举例：NOIP 2017 PJ 第四题 P3957跳房子
二分+DP+单调队列优化，这里请大家仔细查阅题解
某年NOIP TG 的初赛完善程序 烽火传递
虽然这题你可以用二叉堆，但明显单调队列更好
大家可以看看，这里我就不讲这么多了
感谢阅读！
