Compatible Numbers

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思路

对于一个数 $x$，如果想要构造一个数 $y$ 使得 $x\mathrm{\&}y=0$ 那么显然对于 $x$ 的每一位：

1. 如果当前位是 0，那么 $y$ 这一位可以填 $1,0$
2. 如果当前位是 1，那么 $y$ 这一位可以填 $0$

那么对于用这种方式构造出来的数的一些位是可以互换的，而互换后的数显然也是满足要求的，所以问题就变成了，$a_1,a_2,a_3,\cdots \cdots ,a_n$，通过一些位的互换是否可以换成用上面的方法构造出来的数。

对于用上面的方法构造出来的数，如果当前数的二进制的某一位是 1，那么根据上面的规则，你不能将它变成 0，因为会多出一些可能，有后效性，但是对于某一位是 0， 它是不会多出新的方案的，那么我们就可以判断说通过上面的方法构造出来的数的最大值，是否可以被 $a_1,a_2,a_3,\cdots \cdots ,a_n$ 中的任意一个数通过一些位的互换换出，那么要构造出最大值其实就是能变 1， 就变 1，也就是按位取反。

然后对于每一个数（$a_1,a_2,a_3,\cdots \cdots ,a_n$），我们把它看成二进制，搜索每一位是否换，然后换后得出的新数标记是否存在，最后对每个数按位取反后判是否曾经换出来了即可。

然后搜索部分是可以用 dp 来实现的，所以将搜索换成 dp 即可。

记 $d{p}_x$ 为数值 $x$ 是否可以被数组 $a$ 中的任意一个数换出来，能换出来则记录是从哪一个数换出来的，转移则是 $d{p}_x$ = $d{p}_y$，其中 $y$ 的二进制位与 $x$ 的二进制位有且只有一个位置不同，而且不同的位置 $y$ 是 0，$x$ 是 1，初始状态为：$d{p}_{a_i}=a_i$

注：互换就是说那一位取反。

code

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#include <iostream>
 
using namespace std;
 
const int MaxN = 1e6 + 10, MaxM = 9e6 + 10;
 
int dp[MaxM], a[MaxN], n;
 
int main() {
  ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0);
  cin >> n;
  for (int i = 1; i <= n; i++) {
    cin >> a[i], dp[a[i]] = a[i];
  }
  for (int i = 0; i < MaxM; i++) { 
    if (dp[i]) {
      for (int j = 0; (1 << j) < MaxM; j++) {
        if (!(i & (1 << j)) && (i | (1 << j)) < MaxM) {
          dp[(i | (1 << j))] = dp[i];
        }
      }
    }
  }
  for (int i = 1; i <= n; i++) {
    cout << (dp[((1 << 22) - 1) ^ a[i]] ? dp[((1 << 22) - 1) ^ a[i]] : -1) << " ";
  }
  return 0;
}