I - Wish I Knew How to Sort

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题意

每次随机选择下标 $i,j$ 交换 $a[i],a[j]$，求变成不降序列的期望次数。

思路

dp，同样也是期望 dp，先考虑暴力，可以状态压缩，那么 $010$ 可以转移到:

$100$，$010$，$001$
这三种，然后我们发现，其实只有 $001$ 有点用，而其他的就有点鸡肋，所以可以观察前两个串，会发现它们与目标串不同的地方有两个，所以它们与目标串的“距离”为 1，而第三个串的“距离”则为 0，那么就可以用这个“距离”作为代表这一类的标志、下标，我们发现这个“距离”最多也只有 $\frac{n}{2}$ 所以可以用这个来做 dp，所以可以推出：$d{p}_i=1+\frac{i^2}{\frac{n(n-1)}{2}}d{p}_{i-1}+\frac{\frac{n(n-1)}{2}-i^2}{\frac{n(n-1)}{2}}d{p}_i$，这个时候我们发现式子里出现了类似 $x=x$ 的东东，所以移项：
$d{p}_i=1+\frac{i^2}{\frac{n(n-1)}{2}}d{p}_{i-1}+\frac{\frac{n(n-1)}{2}-i^2}{\frac{n(n-1)}{2}}d{p}_i$
$d{p}_i-\frac{\frac{n(n-1)}{2}-i^2}{\frac{n(n-1)}{2}}d{p}_i=1+\frac{i^2}{\frac{n(n-1)}{2}}d{p}_{i-1}$
$(1-\frac{\frac{n(n-1)}{2}-i^2}{\frac{n(n-1)}{2}})d{p}_i=1+\frac{i^2}{\frac{n(n-1)}{2}}d{p}_{i-1}$
$d{p}_i=\frac{1+\frac{i^2}{\frac{n(n-1)}{2}}d{p}_{i-1}}{(1-\frac{\frac{n(n-1)}{2}-i^2}{\frac{n(n-1)}{2}})}$
这个时候式子就没问题了，直接 dp 算即可
注：
距离：这里设距离为最少需要几次交换才能变成目标串

code

点击查看代码

#include <iostream>
#include <iomanip>
 
using namespace std;
using ll = long long;
 
const int MaxN = 200010, mod = 998244353;
 
ll a[MaxN], t, n, cnt, sum;
ll dp[MaxN];
 
ll qpow(ll a, ll b) {
  ll res = 1;
  for (ll i = 1; i <= b; i <<= 1) {
    (b & i) && (res = res * a % mod);
    a = a * a % mod;
  }
  return res;
}
 
int main() {
  for (cin >> t; t; t--) {
  cin >> n, cnt = sum = 0;
    for (ll i = 1; i <= n; i++) {
      cin >> a[i], sum += a[i] == 0;
    }
    for (ll i = 1; i <= n; i++) {
      if (i <= sum) {
        cnt += a[i] != 0;
      } else if (i > sum) {
        cnt += a[i] != 1;
      }
    }
    cnt /= 2;
    for (ll i = 1; i <= cnt; i++) {
      ll a = n * (n - 1) % mod * qpow(2, mod - 2) % mod;
      dp[i] = ((1 + dp[i - 1] * (i * i % mod * qpow(a, mod - 2) % mod) % mod) * qpow(((1 - ((a - i * i % mod) + mod) % mod * qpow(a, mod - 2) % mod) % mod + mod) % mod, mod - 2) % mod + mod) % mod;
    }
    cout << (dp[cnt] % mod + mod) % mod << endl;
  }
  return 0;
}