[ABC270D] Stones

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题意

有两个人玩游戏，有 $n$ 个石子，和一个长度为 $k$ 的序列，每次可以取 $a_i$ 个但前提是剩下来的石子数有 $a_i$ 个，第一个人先取，问两边都是用最优策略时，第一个人最多能得多少个石子。

思路

可以设计状态 $(x,y,f)$ 表示第一个人取了 $x$ 个石子，第二个人取了 $y$ 个石子，由第 $f+1$ 人开取，显然 $x+y\le n$。

那么可以优化状态，因为要求的是第一个人最多能得多少个石子，所以可以将其中一个变量提取出来变成最优属性，可是光靠知道另一个人取了多少个石子是不够的，所以可以将它变成一共已经取了 $x$ 个石子，还有由于两个人都用的是最优策略，所以 $f$ 可以优化掉，也就变成了 $d{p}_x=y$，那转移就是 $d{p}_x=max(x-d{p}_{x-a_i})$。

代码

#include <iostream>
 
using namespace std;
 
const int MaxN = 110, MaxV = 1e4 + 10;
 
int dp[MaxV], a[MaxN], n, k;
 
int main() {
  cin >> n >> k;
  for (int i = 1; i <= k; i++) {
    cin >> a[i];
  }
  for (int i = 0; i <= n; i++) {
    for (int j = 1; j <= k; j++) {
      if (i >= a[j]) {
        dp[i] = max(dp[i], i - dp[i - a[j]]);
      }
    }
  }
  cout << dp[n] << endl;
  return 0;
}