poj 3358 Period of an Infinite Binary Expansion——欧拉函数+费马小定理

题目意思是给定m,n问你 m/n的二进制表示的最大循环节开始位置和长度。

找了一些题解，发现没有满意的，discuss里面的分析已经很好了。。

我们可以观察一下1/10这组数据，按照二进制转换法(乘二法)，我们可以得到：

1/10 2/10 4/10 8/10 16/10 32/10 ...

然后都分子都尽可能减去10，得到：

1/10 2/10 4/10 8/10 6/10 2/10 ...

这时候，发现出现了重复，那么这个重复就是我们要求的最小循环。

抽象出模型如下：对p/q

首先p'=p/gcd(p,q)

q'=q/gcd(p,q);

然后我们就是求p'*2^i == p'*2^j (mod q') (“==”表示同余,i<j;

经过变换得到：

p'*2^i*(2^(j-i)-1) ==0 (mod q')

也就是 q' | p'*2^i*(2^(j-i)-1)

由于gcd(p',q')=1,

得到： q' | 2^i*(2^(j-i)-1)

因为2^(j-i)-1为奇数，所以q'有多少个2的幂，i就是多少，而且i就是循环开始位置的前一位。

那么令q''为q'除去2的幂之后的数

此时 q'' | 2^(j-i)-1

也就是求出x,使得 2^x ==1 (mod q'')

因此我们还要枚举phi(q)的因子，判断有 2 ^ x == 1(mod q) ,取最小的x（PS：先开始这个地方写搓了，很容易错的呀。。）

a27400

3358

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1258B

2011-09-06 18:57:36

#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>

typedef long long LL;

LL gcd(LL a,LL b)
{
    if(b==0)
        return a;
    else return gcd(b,a%b);
}

LL euler(LL n)
{
    LL i;
    LL total=n;
    for(i=2;i*i<=n;i++)
    {
        if(n%i==0)
        {
            total=total/i*(i-1);
            while(n%i==0)    n/=i;
        }
    }
    if(n!=1)
        total=total/n*(n-1);
    return total;
}

LL quickmod(LL a,LL n,LL p)
{
    if(n==0)
        return 1%p;
    if(n==1)
        return a%p;
    a%=p;
    LL ans=quickmod(a,n/2,p)%p;
    ans=ans*ans%p;
    if(n&1)
        ans=ans*a%p;
    return ans;
}

int main(void)
{
    LL p,q;
    LL cas=0;
    char ch;
    while(scanf("%lld%c%lld",&p,&ch,&q)==3)
    {
        LL temp=gcd(p,q);
        p=p/temp;
        q=q/temp;
        LL i=1,j=-1;
        while(q%2==0)
        {
            q/=2;
            i++;
        }
        LL phi=euler(q);
        LL k;
        for(k=2;k*k<=phi;k++)
        {
            if(phi%k==0)
            {
                if(quickmod(2,k,q)==1)
                {
                    if(j==-1)
                        j=k;
                    else if(j>k)
                        j=k;
                    break;
                }
                else 
                {
                    LL temp=phi/k;//先开始忘记写else这块了。。。
                    if(quickmod(2,temp,q)==1)
                    {
                        if(j==-1)
                            j=temp;
                        else if(j>temp)
                            j=temp;
                    }
                }                    
            }
        }
        if(j==-1)
            j=phi;
        printf("Case #%lld: %lld,%lld\n",++cas,i,j);
    }
    return 0;
}