理解概率图模型中的有向分离(d-separation)

Abstract: d-separation是什么？有什么作用？

引言

给定贝叶斯网，我们能不能根据这个有向无环图的结构，来简化概率计算？
比如给定下面这个贝叶斯网，我们就知道，X与Y互为独立事件（记做X⊥Y）。

知道了这个结论，那概率P(X,Y)，P(X|Y)，P(Y|X)的计算问题，就能得到简化（如下）。

P(X,Y)=P(X)P(Y)

P(X|Y)=P(X)

P(Y|X)=P(Y)

这就是有向分离(d-separation)的基本思想：通过贝叶斯网中看两个事件的关系（两个事件是否条件独立），从而简化概率计算。
若X与Y关于Z是有向分离(d-separation)的，则P(X,Y|Z)=P(X|Z)P(Y|Z)。

下面通过详细分析贝叶斯网中4种常见的连接情况，来总结有向分离(d-separation)的一般规律。

4种连接情况讨论

这里假设有三个观测事件X,Y,Z。

• 若不观测Z，计算P(X,Y)=∑zP(X,Y,Z)。只有满足P(X,Y)=P(X)P(Y)，才能说明X与Y相互独立。若能得到这个表达式（P(X,Y)=P(X)P(Y)）就能说明X与Y关于Z有向分离(d-separation)的。
• 若观测Z(以Z作为条件)，用条件概率公式计算P(X,Y|Z)=(P(X)P(Z|X)P(Y|Z))/P(Z)。只有满足P(X,Y|Z)=P(X|Z)P(Y|Z)，才能说明X与Y关于Z相互独立。若能得到这个表达式（P(X,Y|Z)=P(X|Z)P(Y|Z)）就能说明X与Y关于Z有向分离(d-separation)的。

下面就对每一种连接，分两种情况（“观测Z”与“不观测Z”）讨论。

直接连接 （X->Z->Y）

• 若不观测Z，则P(X,Y)=∑zP(X,Y,Z)=P(X)∑zP(Z|X)P(Y|Z)=P(X)P(Y|X)。X与Y并不是独立事件。

• 若观测Z，则P(X,Y|Z)=P(X,Y,Z)/P(Z)=(P(X)P(Z|X)P(Y|Z))/P(Z)=P(X|Z)P(Y|Z)。X与Y关于Z条件独立。

（推导中需要用到P(A|B)=P(AB)/P(B)，以及P(B)P(A|B)=P(A)P(B|A)）

间接因果作用（Y->Z->X）

• 若不观测Z，则P(X,Y)=∑zP(X,Y,Z)=P(Y)P(X|Y)。X与Y并不是独立事件。

• 若观测Z，则P(X,Y|Z)=P(X,Y,Z)/P(Z)=(P(Y)P(Z|Y)P(X|Z))/P(Z)=P(Y|Z)P(X|Z)。X与Y关于Z条件独立。

共同的原因（X<-Z->Y）

• 若不观测Z，则P(X,Y)=∑zP(X,Y,Z)=∑zP(X|Z)P(Y|Z)P(Z)。X与Y并不是独立事件。

• 若观测Z，则P(X,Y|Z)=P(X,Y,Z)/P(Z)=(P(X|Z)P(Z)P(Y|Z))/P(Z)=P(X|Z)P(Y|Z)。X与Y关于Z条件独立。

共同的作用（X->Z<-Y）

• 若不观测Z，则P(X,Y)=∑zP(X,Y,Z)=P(X)P(Y)∑zP(Z)=P(X)P(Y)。X与Y相互独立。

• 若观测Z，则P(X,Y|Z)=P(X,Y,Z)/P(Z)=P(X)P(Y)P(Z|X,Y)/P(Z)。X与Y关于Z不独立。

简化

要去推导这些公式来验证X与Y是否关于Z有向分离，太复杂了点。有没有简单点的方法来判断X与Y是否是关于Z有向分离的呢？
当然可以，下面的文字就说明如何做到看图就能判断有向分离。

X influence Y

若X与Y相互独立，就说明X不会影响（influence）Y。将上述4种情况总结起来，见下图：

Active Trails

当下面两个条件中有一个被满足，说明一个Trail（X1-X2-…-Xn）关于Z是Active的：
（1）对于任意V型结构：Xi->X<-Xj，X属于Z，或X的子事件属于Z
（2）没有Xi属于Z（Z不为空）

下面举例说明怎么用这个规则。
在下面这个贝叶斯网中

给定一个Trail：D->G<-I->S
* 若Z={}，条件（2）不满足。考虑条件（1），Trail中有V型结构(D->G<-I)，但该结构的所有事件（D,G,I）都不属于Z，，且G的子事件L也不属于Z，所以这个Tail不Active

• 若Z={L}，则这个Trail中所有事件（D,G,I,S）都不属于Z，条件（2）被满足。考虑条件（1），Trail中有V型结构(D->G<-I)，虽然该结构的所有事件（D,G,I）都不属于Z，但G的子事件L属于Z，所以条件（1）被满足。此时Trail是Active的。

• 若Z={L,I}，则这个Trail中有（所有事件D,G,I,S），事件I属于Z，条件（2）不满足。所以这个Tail不Active。（虽然条件（1）被满足）

看图判断d-separation

定义：给定Z，只要在贝叶斯网中，X到Y的Trail不是Active，就说明X和Y关于Z是有向分离(d-separation)的。

结论

给定一个贝叶斯网，只要看图判断一个从X到Y的Trail是不是Active，就能判断X与Y是不是有向分离（Active则不是有向分离）。用两句话总结本文：

• X和Y关于Z有向分离，等于X和Y关于Z条件独立
• X到Y的Tail不是Active，等于X和Y关于Z条件独立

例子：判断下图C与D是不是关于F有向分离？

解答：先判断图中的整个Tail是不是Active：
考虑条件（1），图中有V结构（C->E<-D），虽然这个V结构中的所有事件（C,E,D）都不属于F，但中间点E的子事件F属于F。所以条件（1）满足，该Tail是Active的，所以C与D不满足有向分离。

参考

• (1) Daphne Koller。概率图模型
• (2) 概率图论PGM的D-Separation(D分离)。https://my.oschina.net/dillan/blog/134011
• (3) 概率图模型（PGM）里的有向分离（D-separation）。http://blog.csdn.net/light_lj/article/details/39162251
• (4) http://classes.engr.oregonstate.edu/eecs/winter2015/cs536/slides/bayesnets3.2pp.pdf