Kruskal算法求最小生成树

                          Kruskal算法求最小生成树

给定一个 nn 个点 mm 条边的无向图，图中可能存在重边和自环，边权可能为负数。

求最小生成树的树边权重之和，如果最小生成树不存在则输出 impossible。

给定一张边带权的无向图 G=(V,E)G=(V,E)，其中 VV 表示图中点的集合，EE 表示图中边的集合，n=|V|n=|V|，m=|E|m=|E|。

由 VV 中的全部 nn 个顶点和 EE 中 n−1n−1 条边构成的无向连通子图被称为 GG 的一棵生成树，其中边的权值之和最小的生成树被称为无向图 GG 的最小生成树。

输入格式

第一行包含两个整数 nn 和 mm。

接下来 mm 行，每行包含三个整数 u,v,wu,v,w，表示点 uu 和点 vv 之间存在一条权值为 ww 的边。

输出格式

共一行，若存在最小生成树，则输出一个整数，表示最小生成树的树边权重之和，如果最小生成树不存在则输出 impossible。

数据范围

1≤n≤1051≤n≤105,
1≤m≤2∗1051≤m≤2∗105,
图中涉及边的边权的绝对值均不超过 10001000。

输入样例：

4 5
1 2 1
1 3 2
1 4 3
2 3 2
3 4 4

输出样例：

6

算法思路：

将所有边按照权值的大小进行升序排序，然后从小到大一一判断。

如果这个边与之前选择的所有边不会组成回路，就选择这条边分；反之，舍去。

直到具有 n 个顶点的连通网筛选出来 n-1 条边为止。

筛选出来的边和所有的顶点构成此连通网的最小生成树。

判断是否会产生回路的方法为：使用并查集。

在初始状态下给各个个顶点在不同的集合中。、

遍历过程的每条边，判断这两个顶点的是否在一个集合中。

如果边上的这两个顶点在一个集合中，说明两个顶点已经连通，这条边不要。如果不在一个集合中，则要这条边。

举个例子，下图一个连通网，克鲁斯卡尔算法查找图 1 对应的最小生成树，需要经历以下几个步骤：

 

将连通网中的所有边按照权值大小做升序排序：

从 B-D 边开始挑选，由于尚未选择任何边组成最小生成树，且 B-D 自身不会构成环路，所以 B-D 边可以组成最小生成树。

D-T 边不会和已选 B-D 边构成环路，可以组成最小生成树：

A-C 边不会和已选 B-D、D-T 边构成环路，可以组成最小生成树：

C-D 边不会和已选 A-C、B-D、D-T 边构成环路，可以组成最小生成树：

C-B 边会和已选 C-D、B-D 边构成环路，因此不能组成最小生成树：

B-T 、A-B、S-A 三条边都会和已选 A-C、C-D、B-D、D-T 构成环路，都不能组成最小生成树。而 S-A 不会和已选边构成环路，可以组成最小生成树。

对于一个包含 6 个顶点的连通网，我们已经选择了 5 条边，这些边组成的生成树就是最小生成树。

?

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69

#include <cstring> #include <iostream> #include <algorithm>   using namespace std;   const int N = 100010, M = 200010, INF = 0x3f3f3f3f;   int n, m; int p[N];   struct Edge {     int a, b, w;       bool operator< (const Edge &W)const     {         return w < W.w;     } }edges[M];   int find(int x) {     if (p[x] != x) p[x] = find(p[x]);     return p[x]; }   int kruskal() {     sort(edges, edges + m);       for (int i = 1; i <= n; i ++ ) p[i] = i;    // 初始化并查集       int res = 0, cnt = 0;     for (int i = 0; i < m; i ++ )     {         int a = edges[i].a, b = edges[i].b, w = edges[i].w;           a = find(a), b = find(b);         if (a != b)         {             p[a] = b;             res += w;             cnt ++ ;         }     }       if (cnt < n - 1) return INF;     return res; }   int main() {     scanf("%d%d", &n, &m);       for (int i = 0; i < m; i ++ )     {         int a, b, w;         scanf("%d%d%d", &a, &b, &w);         edges[i] = {a, b, w};     }       int t = kruskal();       if (t == INF) puts("impossible");     else printf("%d\n", t);       return 0; }

　　完结，散花。