部分背包

背包问题是贪心和动态规划的经典问题，这里学习一下部分背包问题的解法。 

部分背包问题常用贪心解决，其贪心策略为优先选取单位重量价值最大的商品（介绍完算法再来看一下为什么），下面先看一下主要算法。

 

 

这个算法也比较简单，优先选择单位重量价值的商品，用x【】数组记录是把该商品全部拿走还是只取部分即可。

至于Sort函数，需要自己写，后面的代码有，可以简单看一下。

以上问题笔者经过计算，结果分别为：

（1）选取商品为：D + F + B + E + 35/60*C

重量：50 +10 +30 +25 +35 = 150

价值：50 + 40 + 40 +30 +30 + 17.5 = 167.5

（2）选取商品为：F +G + B + A +E +10/50*D

重量：10 + 25 +30 + 35 +40 +10 = 150

价值：40 + 30 +40 +10 + 35 +10 = 165

（3）选取商品为：F + B + G + D + 35/40*E

重量：10 + 30 + 25 +50 +35 = 150

价值： 40 +40 +30 + 50 +30.625 = 190.625

显然，以上三种贪心策略中，每次选取单位重量价值最大的物品装入背包可得到最大价值！

（为了证明算法的正确性，还必须证明背包问题具有贪心选择性质。）

部分背包问题的贪心策略的正确性证明

贪心策略是：总是优先选择单位重量下价值最大的物品

正确性证明 是：使用该贪心策略，可以获得最优解。在这里，最优解就是带走的物品价值最大。

证明思路：先考察一个全局最优解，然后对该解加以修改(一般是采用“剪枝”技巧)，使其采用贪心选择，这个选择将原问题变成一个相似的、但是更小的问题。

先假设 物品集合S={W1，W2....Wn}已经按 单位重量价值从小到大排好序了。

并假设 一个全局最优解是：S(i)={Wi1，Wi2，.....Win}。Wi1，Wi2，.....Win是有序的。对于贪心选择而言，总是会优先 选择 Wn 的物品，当Wn 没有后，再选择Wn-1 .....

如果Win = Wn 问题已经得证。因为，我们的最优解S(i)中，已经包含了贪心选择。只要继续归纳下去，Wi(n-1) 就是 Wn-1 ....

如果Win != Wn 运用剪枝技巧，剪掉Win 并 贴上 Wn 此时，得到的是一个更优的解(因为价值更大了 ，Wn > Win)。因为，Wn 是单位重量价值最高的那个物品啊，我们的贪心选择应该选择它，但是这里的最优解S(i)却没有选择它，于是我们用剪枝技巧，将它加入到S(i)中去，并把S(i)中的Win除去。

就证明了，如果用贪心策略来进行选择，得到的是最优解。从而证明了贪心算法的正确性。

其实，也就是证明了一定存在一个最优解，这个最优解就是由贪心选择组成的。

代码的实现

ok，废话bb一大堆，上代码让大家瞧瞧 

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn = 1000;
float z[maxn];
 
void Sort(int n,float w[],float v[]){
    for(int i=0;i<n;i++)
        z[i]=v[i]/w[i];//用z[]存商品的单位重量价值 
    for(int i=0;i<n;i++){//此排序的策略是每次把 单位重量商品的价值最大 的商品放在前面 
        for(int j=i+1;j<n;j++){
            if(z[i]<z[j]){
                float temp = z[i];
                z[i] = z[j];
                z[j]=temp;
                float tempw = w[i];//这里不要忘记把商品的重量和价值同时放到最前面 
                w[i] = w[j];
                w[j] = tempw;
                float tempv = v[i];
                v[i] = v[j];
                v[j] = tempv; 
            }
        }
    }
}
 
void fire(int n,float w[],float v[],float x[],float carrymax){
    Sort(n,w,v);//根据单位重量商品的价值对商品进行排序 
    int i;
    for(i=0;i<n;i++){
        if(w[i]>carrymax)    break;
        x[i] = 1;    //x[]数组用来记录此次是否选择商品，1代表全部拿走，0代表不拿，小数代表部分拿 
        carrymax -= w[i];
    }
    if(i<=n-1)  x[i] = carrymax/w[i]; 
} 
 
 
int main(){
    int n;
    float carry=0; 
    float carrymax,v[maxn],w[maxn],x[maxn];//w[],每个商品的重量,v[]代表每个商品的价值,carrymax代表最大容量 
    memset(x,0,sizeof(x));
    cout<<"请输入最大容量：";
    cin>>carrymax;
    cout<<"请输入商品数量：";
    cin>>n;
    cout<<"请输入每个商品的重量和价值："<<endl;
    for(int i=0;i<n;i++){
        cin>>w[i]>>v[i];
    }
    fire(n,w,v,x,carrymax);
    for(int i=0;i<n;i++){
        if(x[i]==1){
            cout<<"商品重量为"<<w[i]<<" 价值为"<<v[i]<<"的商品全部拿走"<<endl;
            carry+=v[i];
        }
            
        else if(x[i]==0)
            cout<<"商品重量为"<<w[i]<<" 价值为"<<v[i]<<"的商品不拿走"<<endl;
        else{
            cout<<"商品重量为"<<w[i]<<" 价值为"<<v[i]<<"的商品拿走"<<x[i]<<endl;
            carry+=v[i]*x[i];
        }
    }
    cout<<"最终收获的商品价值为："<<carry<<endl;
    return 0;
}