补码编码、有符号无符号转化、字符扩展与截断

1. 无符号数的编码

无符号数的编码其实就是我们平时认知的二进制表示形式，比如$0b0000 1101 = 1*2^{3}+1*2^{2}+1*2^{0} = 13$

其一般定义为：

对于向量 $\vec{x}=[x_{w-1}, x_{w-2}, ..., x_0]:$

其转化为无符号变量后的值为

$$B2U_w(\vec{x}) = \sum_{i=0}^{w-1}x_i2^i$$

就是基本的数学进制转化表示方法，比较简单。

2. 补码编码

2.1补码(two's complement)

我们不仅仅需要表示无符号的值，有些时候我们也要表示有符号的值，而计算机最常见的表示有符号数的方式为补码形式，补码的表示方式中，把最高位解释成负权，在第1节无符号数的编码时，可以看出向量$\vec{x}$的各位都是按照正权来解释的。

那么我们下面给出补码的定义：

对向量$\vec{x}=[x_{w-1}, x_{w-2}, ..., x_0]:$

其表示的有符号值为：

$$B2T_w(\vec{x}) = -x_{w-1}*2^{w-1} + \sum_{i = 0}^{w-2}x_i2^i$$

可以看出除了最高位是按照负权解释外，其余和无符号数的编码相同。

• 对于一个字节的有符号数补码 0xFF = -1;

那么计算机为什么使用补码呢？下面介绍下源码和反码

2.2 原码和反码

原码(Sign-Magnitude)：最高位是符号位，用来确定剩下的位是使用正权还是负权，其表示的值为：

$$B2S_w(\vec{x}) = -1^{x_{w-1}}*\sum_{i = 0}^{w-2}x_i2^i$$

• 对于一个字节的有符号数补码 0xFF = -127;

反码(Ones' Complement)：除最高有效位的权是$-(2^{w-1}-1)$ 而不是$-(2^{w-1})$外，其他各位的解释方式和补码是一样的。

$$B2O_w(\vec{x}) = -x_{w-1}(2^{w-1}-1) + \sum_{i = 0}^{w-2}x_i2^i$$

从公式可以看出，相同的位向量$\vec{x}$ 使用反码解释得到的值-1就得到了对应的使用补码解释得到的值。

从公式同样可以看出，当最高位是0时，反码和原码解释得到的值是一样的，

• 0b0000 0000 ---> 原码表示0，反码也是表示0.

但当最高位是1时，

• 0b1000 0000 ---> 原码表示0，反码表示-127

也就是说当最高位时1时，补码解释0b1000 0000 == 原码解释 0b1111 1111 (-127)，此时可以看出原码解释到反码解释的转化，只需把位图 $\vec{x}$ 最高位保持不变，其余各位取反。

细心的朋友可能会发现，对于0b1000 0000 用原码解释得到值0，对于0b0000 0000用原码解释得到的值也是0，这就是原码表示的缺点，就是对于零有两个位图 $\vec{x}$ 来表示。

那么反码是否也有这个问题呢，答案是肯定的0b1111 1111 和0b0000 0000 在反码解释中都是0.

2.3 补码和反码的来源

补码的名字为two's complement，反码的名字为ones' complement. 注意这两名字的撇号的位置是不一样的。这归结与补码和反码的来源。

术语补码来源于这样一种情况，即对于非负数x，我们用 $2^{w}-x$ 计算-x的w位表示。

术语反码来源于这样一种情况，即对于非负数x, 我们用[1111..1]-x来表示-x。

可见看原英文名更为贴切。

其实对于正数，用原码、反码或补码编码，其最终位向量 $\vec{x}$ 是一样的。只有负数时，才有区别。而0是原码和反码都有两种表示方式，而补码对所有数都只有一种表示方式。

3.有符号无符号转化

注意一下所讲的有符号全部是用补码表示的。

有符号与无符号的相互转化其实也比较简单，就是位图 $\vec{x}$ 保持不变，变化的只是对位图 $\vec{x}$ 的解释。当用符号时，就用补码解释，当为无符号时，就用无符号数的编码来解释。虽然位图 $\vec{x}$ 是不变的，但是解释出来的值却存在某种关系（此关系不是很重要，自己推一下就行了，本质还是位图 $\vec{x}$ 不变）。

3.1 无符号-->有符号

对满足 $0<= u <= UMax_w$ 的 $u$ 有：

$$U2T_w(u) = \begin{cases} u,\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\space u <= TMax_w \\ u-2^w, \:\:\:u > TMax_w\end{cases}$$

举例（以一个字节为例）：

0b1111 1111 当是无符号表示时，它的值为255， 当是有符号值表示时，它的值是-1. ($-1 = 255-2^8$)

推导过程如下:

一个位图 $\vec{x}$ 用无符号表示时的值：

$$B2U_w(\vec{x}) = \sum_{i=0}^{w-1}x_i2^i \tag{1}$$

一个位图 $\vec{x}$ 用有符号表示时的值：

$$B2T_w(\vec{x}) = -x_{w-1}*2^{w-1} + \sum_{i = 0}^{w-2}x_i2^i 1 \tag{2}$$

用$(1) -(2)$得到差值为$x_{w-1}*2^{w-1} + x_{w-1}*2^{w-1} = x_{w-1}* 2^{w}$ ，

• 当$x_{w-1}$为0时，差值为0，也就是当最高位为0时，无符号表示的值和有符号补码表示的值相等。
• 当 $x_{w-1}$ 为1时，差值为 $2^{w}$，所以，有符号值（2） = 无符号值（1） - $2^{w}$

3.2 有符号-->无符号

对满足 $TMin_w<= x <= TMax_w$ 的 $x$ 有：

$$T2U_w(u) = \begin{cases} x+2^w,\:\:\: x<0 \\ x, \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: x > =0\end{cases}$$

举例（以一个字节为例）：

0b1111 1111 当是有符号表示时，它的值为-1， 当是无符号值表示时，它的值是255. ($255 = -1+2^8$)

推导过程与3.1中类似。

有符号和无符号转化时的坑：

当一个运算数是有符号的，另一个是无符号的，那么c语言会隐式的把有符号的数转为无符号的数，再进行计算，也就是说变成了两个非负数的运算。当是算术运算时，是没有影响的。但是对于逻辑运算就存在很大的坑。

printf("%d\n", -1 > 2U); // 1  
printf("%d\n", -1 > 0U); // 1   

输出的结果都是true，这显然不满足我们的预期。

4.字符扩展

所谓字符扩展就是，比如当一个1字节的数，转化为2字节的数时，在高位补充数据，那么高位应该填补0还是1呢？

我们先说结论：

• 无符号数，0扩展，即高位补0
• 有符号数，符号位扩展，即高位补扩展前高位的值。

我们举个例子：

#include<stdio.h>
void printByte(void* c, int n){
    for(int i = 0; i < n; ++i){
         printf("%x ", *((unsigned char*)c+i));
    }
    printf("\n");
}
int main(){
    unsigned char a = 0x12;            //0b00010010
    short b = (unsigned short)a;
    printf("%u\n", b);  		// 18， 16+2 = 18
    printByte(&b, sizeof(b));           // 12 00， （小端）也即使0x0012
    
    signed char a1 = 0x87; 		// 0b10000111
    short b1 = (short)a1;
    printf("%d\n", b1);    		// -121
    printByte(&b1, sizeof(b1));         // 87 ff, (小端)也即使0xff87
      
    //注意，当a1位unsigned char时，情况就发生了变化。
    unsigned char a2 = 0x87; 	        // 0b10000111
    short b2 = (short)a2;  	        // 在此时转化，推测是unsigned char ->unsigned short -> short
    printf("%d\n", b2);     	        // 135
    printByte(&b2, sizeof(b2));	        // 87 00, (小端)也即使0xff87
    
    return 0;
}

5.字符截断

与字符扩展相反，字符截断是，比如当一个2字节的数，转化为1字节的数时，应截断去掉高位数据，那么仅仅去掉高位的数据就行了么，不需要额外的其他操作了吗？ 答案是肯定的，只需要把高位去掉，保留低位就行。

• 对于无符号数据，这是显然的。
• 对于有符号数据，同样如此。

int main(){
    unsigned short a = 0x1288; 	        //0b0001 0010 1000 1000
    unsigned char b = (unsigned char)a;
    printf("%u\n", b);  		// 136， 16+2 = 18
    printByte(&b, sizeof(b));	        // 88， 也即使0x88
    
    short a1 = 0x1288; 			//0b0001 0010 1000 1000
    char b1 = (char)a1;
    printf("%d\n", b1);    		// -120
    printByte(&b1, sizeof(b1));         // 88， 也即使0x88
      
    unsigned short a2 = 0x1288;         //0b0001 0010 1000 1000
    char b2 = (char)a2;  		
    printf("%d\n", b2);     	        // -120
    printByte(&b2, sizeof(b2));         // 88， 也即使0x88
    
    return 0;
}

可以看出，字符截断，其实就是直接了当的，把高位的数据扔掉，只保留低位的数据就行了。