树状数组

一、基本概念

　　　　假设数组a[1..n]，那么查询a[1]+...+a[n]的时间是log级别的，而且是一个在线的数据结构，支持随时修改某个元素的值，复杂度也为log级别。

 

令这棵树的结点编号为C1，C2...Cn。令每个结点的值为这棵树的值的总和，那么容易发现：

C1 = A1

C2 = A1 + A2

C3 = A3

C4 = A1 + A2 + A3 + A4

C5 = A5

C6 = A5 + A6

C7 = A7

C8 = A1 + A2 + A3 + A4 + A5 + A6 + A7 + A8

...

C16 = A1 + A2 + A3 + A4 + A5 + A6 + A7 + A8 + A9 + A10 + A11 + A12 + A13 + A14 + A15 + A16

设节点编号为x，那么这个节点管辖的区间为2^k（其中k为x二进制末尾0的个数）个元素。因为这个区间最后一个元素必然为Ax，

所以很明显：Cn = A(n – 2^k + 1) + ... + An

求最小幂2^k:

int Lowbit(int t) 

{      

　　return t & ( t ^ ( t - 1 ) ); 

　　或者 return t & (-t);

} 

 

 求前n项和：

 

int Sum(int end) 

{      

　　int sum = 0;      

　　while(end > 0)      

　　{          

　　　　sum += in[end];          

　　　　end -= Lowbit(end);      

　　}      

　　return sum; 

} 

  对某个元素进行加法操作： 

void plus(int pos , int num) 
{ 
    while(pos <= n) 
    { 
          in[pos] += num; 
          pos += Lowbit(pos); 
    } 
} 

 

例题 杭电1166题 

敌兵布阵

Problem Description

C国的死对头A国这段时间正在进行军事演习，所以C国间谍头子Derek和他手下Tidy又开始忙乎了。A国在海岸线沿直线布置了N个工兵营地,Derek和Tidy的任务就是要监视这些工兵营地的活动情况。由于采取了某种先进的监测手段，所以每个工兵营地的人数C国都掌握的一清二楚,每个工兵营地的人数都有可能发生变动，可能增加或减少若干人手,但这些都逃不过C国的监视。 中央情报局要研究敌人究竟演习什么战术,所以Tidy要随时向Derek汇报某一段连续的工兵营地一共有多少人,例如Derek问:“Tidy,马上汇报第3个营地到第10个营地共有多少人!”Tidy就要马上开始计算这一段的总人数并汇报。但敌兵营地的人数经常变动，而Derek每次询问的段都不一样，所以Tidy不得不每次都一个一个营地的去数，很快就精疲力尽了，Derek对Tidy的计算速度越来越不满:"你个死肥仔，算得这么慢，我炒你鱿鱼!”Tidy想：“你自己来算算看，这可真是一项累人的工作!我恨不得你炒我鱿鱼呢!”无奈之下，Tidy只好打电话向计算机专家Windbreaker求救,Windbreaker说：“死肥仔，叫你平时做多点acm题和看多点算法书，现在尝到苦果了吧!”Tidy说："我知错了。。。"但Windbreaker已经挂掉电话了。Tidy很苦恼，这么算他真的会崩溃的，聪明的读者，你能写个程序帮他完成这项工作吗？不过如果你的程序效率不够高的话，Tidy还是会受到Derek的责骂的.

 

Input

第一行一个整数T，表示有T组数据。 每组数据第一行一个正整数N（N<=50000）,表示敌人有N个工兵营地，接下来有N个正整数,第i个正整数ai代表第i个工兵营地里开始时有ai个人（1<=ai<=50）。 接下来每行有一条命令，命令有4种形式： (1) Add i j,i和j为正整数,表示第i个营地增加j个人（j不超过30） (2)Sub i j ,i和j为正整数,表示第i个营地减少j个人（j不超过30）; (3)Query i j ,i和j为正整数,i<=j，表示询问第i到第j个营地的总人数; (4)End 表示结束，这条命令在每组数据最后出现; 每组数据最多有40000条命令

 

Output

对第i组数据,首先输出“Case i:”和回车, 对于每个Query询问，输出一个整数并回车,表示询问的段中的总人数,这个数保持在int以内。

 

Sample Input

1

10

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Query 1 3

Add 3 6

Query 2 7

Sub 10 2

Add 6 3

Query 3 10

End

 

Sample Output

Case 1:

6

33

59

 

代码实现：

#include <iostream>
#include <stdio.h>
using namespace std;

int c[50005];
int n;

int Sum(int n)
{
    int sum = 0;
    while (n>0)
    {
        sum += c[n];
        n = n - (n&(-n));//将n的二进制表示的最后一个零删掉
    }
    return sum;
}

void change(int i, int x)
{
    while (i<=n)
    {
        c[i] += x;
        i += (i&(-i));
    }

}

int main()
{
    int t, i, j,m;
    int ai, aj;
    char ch[10];
    while(scanf("%d",&t)>0)
    {
        for (i=1; i<=t; i++)
        {
            memset(c,0,sizeof(c));
            scanf("%d",&n);
            for (j=1; j<=n; j++)
            {
                scanf("%d",&m);
                change(j,m);
            }
            printf("Case %d:\n",i);
            while (scanf("%s",ch))
            {
                if (ch[0] == 'E')
                    break;
                scanf("%d%d",&ai,&aj);
                if (ch[0] == 'A')
                {
                    change(ai,aj);
                }
                else if (ch[0] == 'S')
                {
                    change(ai,-aj);
                }
                else if (ch[0] == 'Q')
                {
                    printf("%d\n",Sum(aj)-Sum(ai-1));
                }
            }
        }
    }
    return 0;
}