数据库系统概论（一）关系数据理论--数据依赖的公理系统和模式分解
Armstrong公理系统
对R（U，F）有：
1.自反律：若Y⊆X⊆U，则F蕴含X→Y
2.增广律：若X→Y，且 Z⊆U，则F蕴含XZ→YZ
3.传递律：若F蕴含X→Y，Y→Z，则有X→Z
由以上定律可以推出以下规则
1.合并规则：若X→Y，X→Z，则有X→YZ
2.伪传递规则：X→Y，WY→Z，则有WX→Z
3.分解规则：X→Y，Z⊆Y，则有X→Z
闭包
闭包F+：在关系模式R（U，F）中由F推导出的全部函数依赖称F+
X关于F的闭包XF+：由X能在F中推导出的所有函数依赖合集
若F=F+，则称F为完备集
判定X→Y能否由F推导出的问题，转化为求出XF+，判定Y是否为XF+子集
Armstrong公理系统的有效性与完备性
有效性：由F出发根据Armstrong公理系统推导出的每一个函数依赖都存在于F+中
完备性：F+中每一个函数依赖，必定可以由F出发根据Armstrong公理系统推导出
最小函数依赖集
如果函数依赖集F满足以下条件，则称F为一个极小函数依赖集。也称为最小依赖集或最小覆盖。
(1)F中任一函数依赖的右部仅含有一个属性。
(2)F中不存在这样的函数依赖X→A，使得F与F-{X→A}等价（任一函数依赖不能由其他函数依赖推导出，线性无关）
(3)F中不存在这样的函数依赖X→A，X有真子集Z使得（F-{X→A}） U {Z→A}与F等价。（F中各函数依赖左边都是最小属性集，无冗余属性）
最小依赖集并不唯一
求最小依赖集
① 用分解的法则，使F中的任何一个函数依赖的右部仅含有一个属性；
② 去掉多余的函数依赖：从第一个函数依赖X→Y开始将其从F中去掉，然后在剩下的函数依赖中求X的闭包X+，看X+是否包含Y，若是，则去掉X→Y；否则不能去掉，依次做下去。直到找不到冗余的函数依赖；
③ 去掉各依赖左部多余的属性。一个一个地检查函数依赖左部非单个属性的依赖。例如XY→A，若要判Y为多余的，则以X→A代替XY→A是否等价？若A属于(X)+，则Y是多余属性，可以去掉。（以上步骤中，求出关系依赖集F,此时，再F的基础上，求出X或者Y的闭包，是否包含A）
例1：关系模式R(U，F)中，U=ABCDEG，F={B->D，DG->C,BD->E,AG->B,ADG->BC}；求F的最小函数依赖集
步骤：
（1）用分解的法则，使F中的任何一个函数依赖的右部仅含有一个属性；得到：F={B->D，DG->C,BD->E,AG->B,ADG->B，ADG->C}；
（2）去掉多余的函数依赖：从第一个函数依赖X→Y开始将其从F中去掉，然后在剩下的函数依赖中求X的闭包X+，依次做下去。直到找不到冗余的函数依赖；
① 去掉B->D，此时F={DG->C,BD->E,AG->B,ADG->B，ADG->C}，此条件下得出B的闭包 B+ = B；B+不包含D，所以B->D保留。
②去掉DG->C，此时F={B->D,BD->E,AG->B,ADG->B，ADG->C}，此时DG闭包DG+ = DG，不包含C,所以不能去掉DG->C.
③ 去掉BD->E，此时F={B->D，DG->C,AG->B,ADG->B，ADG->C}，此时闭包BD+ = BD,不包含E，所以不能去掉BD->E，继续保留。
④去掉AG->B，此时F={B->D，DG->C,BD->E,ADG->B，ADG->C}；此时AG+ = AG，不包含B，所以不能去掉AG->B，继续保留。
⑤去掉ADG->B，此时F={B->D，DG->C,BD->E,AG->B,ADG->C}，此时ADG+ = ADGCBE,包含了B，所以删除ADG->B，不保留。
⑥去掉ADG->C，此时F={B->D，DG->C,BD->E,AG->B}，此时ADG+ = ADGCBD,包含了C，所以删除ADG->C，不保留。
综上所得，此时得到F={B->D，DG->C,BD->E,AG->B}；
（3）去掉各依赖左部多余的属性。一个一个地检查函数依赖左部非单个属性的依赖。
此时函数依赖左边非单个属性有：DG->C,BD->E,AG->B；所以做如下操作：
①先来看DG->C，首先去掉D，则此时G的闭包G+ = G，不包含C，保留D。再次去掉G，此时D+ = D，不包含C，所以G也不能去掉；
②再来看BD->E，首先去掉B，得到此时D的闭包D+ = D，不含E，保留B。然后去掉D，此时B+ = BDE，包含了E，所以去掉D，即得出：B->E;
③最后再来看AG->B，去掉A，G+ = G，不包含B，不能去掉A。去掉G的时候，A的闭包A+ =A，不含B，不能去掉A，还是AG->B ；
所以最后得出：F的最小函数依赖集是：F={B->D，DG->C,B->E,AG->B}；
模式分解
要保证分解后的模式与原模式等价，则要满足以下两个性质
无损连接性：数据内容的等价
保持函数依赖性：数据约束的等价
1.无损连接分解的检测方法（判断一个分解是否无损连接）：
方法一：
算法：
（1）案例：
方法二：无损连接定理(更易于使用)：
案例（1）：
关系模式R（SAIP），F={S—>A,SI—>P}; ρ={R1(SA),R2(SIP)}检测分解是否为无损连接？
因为：R1∩R2 = S ；R1—R2 = A； R2—R1 = IP；所以得出：S —>A；或者S —>IP； 而 S —>A 在F={S—>A,SI—>P}中，所以此分解是无损连接。
举例（2）：已知R<U,F>，U={A,B,C}，F={A→B}，如下的两个分解：
① ρ1={AB,BC}；
② ρ2={AB,AC}；
因为：AB∩BC = B；AB—BC = A；BC—AB = C；得出；B→A，或者 B→A，两个都不包含在F={A→B}中，所以 ρ1 分解是有损的。
因为：AB∩AC = A；AB—AC = B；AC—AB = C；得出：A→B，或者A→C，而A→B包含在F={A→B}中，所以 ρ2 分解是无损的。
2.保持依赖分解的检测方法（判断一个分解是否保持依赖）：
算法：
如果F上的每一个函数依赖都在其分解后的某一个关系上成立，则这个分解是保持依赖的（这是一个充分条件）。
如果上述判断失败，并不能断言分解不是保持依赖的，还要使用下面的通用方法来做进一步判断。
该方法的表述如下：
算法二：
对F上的每一个α→β使用下面的过程：
result:=α;
while(result发生变化)do
for each 分解后的Ri //将每个分解后的结构Ri逐个带入
t=(result∩Ri)+ ∩Ri //这里的意思是取result与Ri的交集的闭包值，之后再与Ri取交集
result=result∪t
这里的属性闭包是在函数依赖集F下计算出来的。如果result中包含了β的所有属性，则函数依赖α→β。分解是保持依赖的当且仅当上述过程中F的所有依赖都被保持。
案例（1）：
关系模式R<U, F>，U=｛A, B, C, D, E｝，F＝{B→A，D→A，A→E，AC→B｝则分解ρ={R1（ABCE），R2（CD）｝是否满足保持函数依赖。
因为：B→A，A→E，AC→B在R1上成立，D→A在R1和R2上都不成立，因此需做进一步判断。
由于B→A，A→E，AC→B都是被保持的（因为它们的元素都在R1中），因此我们要进一步判断的是D→A是不是也被保持。
①先看R1：因为：result = D；result ∩R1 = ф (空集)；所以：t=ф，result=D；
②再看R2：因为：result = D；result ∩R2 = D；D+ = DA; D+ ∩ R2 = D; 所以：t=D，result=D；
一个循环后result未发生变化，因此最后result=D，并未包含A，所以D→A未被保持，该分解不是保持依赖的。
案例（2）：
关系R<U,F>，U={A,B,C,D,E}，F={A→C,B→C,C→D,DE→C,CE→A}，R的一个分解为R1(AD)，R2(AB)，R3(BE)，R4(CDE)，R5(AE)，判断这个分解是否具有函数依赖性。
因为：,C→D,DE→C均在R4(CDE)中被保持，而A→C,B→C，CE→A，在R1....R5上都不成立，需要进一步判断。
（1）A→C；
①先看R1：因为：result = A；result ∩R1 = A ； A+ = ACD ； A+ ∩ R1 = AD；所以：t=AD，result=AD； 此时，result改变，则，进入R2；
②再看R2：因为：result = AD；result ∩R2 = ф，最后还是result = AD；
③再看R3：因为：result = AD；result ∩R3 = ф，最后还是result = AD；
④再看R4：因为：result = AD；result ∩R4 = D，D+ = D; D+ ∩ R4= D；最后还是result = AD；
⑤再看R5：因为：result = AD；result ∩R5 = A，最后还是result = AD；
最后result = AD 并未包含C；所以，所以D→A未被保持，该分解不是保持依赖的；
综合案例：
设有关系模式R<U，F>，U={A，B，C，D，E}，F={A→D，E→D，D→B，BC→D，CD→AB}，设有一个分解P={R1(ED)，R2(BCD)，R3(ACD)}判断该分解是否保持函数依赖，并判断此分解是否具有无损连接性。
①判断是保持函数依赖的；F的最小函数依赖为：F={A→D，E→D，D→B，BC→D，CD→A}；三个分解的模式中满足依赖的传递。
②判断是有损的模式分解； （没有一行全为a的）；
3.关系模式保持依赖地分解成3NF：
分解规则：将每一个函数依赖单独组成一个关系；
案例（1）：
关系R<U,F>，U={A, B, C, D, E, F, G}，F={A→B，A→C，C→D，C→E，E→FG}，将R分解成3NF。（有非主属性传递依赖于码，不属于3NF目前）；
①：U中所有元素均存在F中，进一步判断； F中并不存在依赖函数X→A，且XA = R；
②：将每一个函数依赖组成一个关系；即：ρ = {R1(A,B),R2(A,C),R3(C,D),R4(C,E),R5(E,F,G)}；
③：合并关系（跟进F左边相同）：即：ρ = {R1(A，B，C),R2(C,D，E),R3(E,F,G)}；
案例（2）：关系模式R<U,F>，其中U={C,T,H,R,S,G}，F={CS→G,C→T,TH→R,HR→C,HS→R}，将其分解成3NF并保持函数依赖。
因为：最小依赖集为：F={CS→G,C→T,TH→R,HR→C,HS→R}； 而U中所有元素 均在 F中有出现；
所以：可将每一个函数依赖单独组成一个关系；即：ρ = {R1(CSG)，R2(CT)，R3(THR)，R4(HRC)，R5(HSR)}；
4.关系模式无损连接地分解成BCNF：
分解规则：将左侧不含候选键的函数依赖单独组成一个关系, 将包含候选键的组成一关系；
案例（1）：
关系R<U,F>，U={A, B, C, D, E, F, G}，F={A→B，A→C，C→D，C→E，E→FG}，将R分解成BCNF；（目前，有 不依赖于 候选键的其他函数依赖，不满足BCNF）；
①找出候选码：A；
②将左侧不含候选码的组成一个关系，包含候选码的组成一个关系：ρ = {R1(C,D),R2(C,E),R3(E,F,G),R4(A,B,C)}；
③合并关系：即：ρ = {R12(C,D,E),R3(E,F,G),R4(A,B,C)}；
案例（2）：
关系模式R<U,F>，其中U={C,T,H,R,S,G}，F={CS→G,C→T,TH→R,HR→C,HS→R}，将其分解成BCNF并保持无损连接。
①找出候选码：HS；
②将左侧不含候选码的组成一个关系，包含候选码的组成一个关系：ρ = {R1(C，T)，R2(S，G，C，R，G)}；（即：R2中不能含T）；
计算此时R1和R2的最小函数依赖集分别为：F1={C→T}，F2={CS→G,CH→R,HR→C,HS→R}（因为R2中不能含有T，根据C→T,TH→R，可以转化成CH→R）；
又因为：R1(C，T)、F1={C→T}（已满足BCNF）；
R2(S，G，C，R，G)、F2={CS→G,CH→R,HR→C,HS→R}；此时R2的码为：HS；而F中箭头左侧有不是如CS、CH、HR不是码，故不满足BCNF，需要进一步分解；
分解R2： R2(S，G，C，R，G)、F2={CS→G,CH→R,HR→C,HS→R}；得：R21(CSG)，R22(CHR)，R23(HSR)；（左侧不含候选码的组成一个关系）； 此时：R21、R22、R23均已满足BCNF；
③最终分解后得出：ρ = {R1(C,T),R21(CSG)，R22(CHR)，R23(HSR)}；
案例（3）：
关系模式R<U,F>，其中：U={A,B,C,D,E}，F={A→C,C→D,B→C,DE→C,CE→A}，将其分解成BCNF并保持无损连接。
①找出候选码：BE；
②因为目前左侧都不包含码。不能组成一个包含码的关系。
考虑A→C函数依赖不满足BCNF条件（因A不包含候选键BE），将其分解成R1(AC)、R2(ABDE)。 （R2中不能包含C）；
计算此时R1和R2的最小函数依赖集分别为：F1 = {A→C}；F2 = {B→D，BE→A}；（因为C→D,B→C,DE→C,CE→A，R2中不能包含C，而C→D,B→C，可以转化成：B→D；DE→C 可以转化成 DE→D，CE→A 可以转化成BE→A）；又由于DE→D是蕴含关系，可以去掉；
③分解R2：R2上的候选关键字为BE。考虑B→D函数依赖不满足BCNF条件，将其分解成R21(BD)、R22(ABE)。计算R21和R22的最小函数依赖集分别为：F21={B→D}，F22={BE→A}。
由于R22上的候选关键字为BE，而F22中的所有函数依赖满足BCNF条件。故R可以分解为无损连接性的BCNF如：ρ={R1(AC),R21(BD),R22(ABE)}。
5.关系模式分解既保持依赖又无损连接：
分解规则：将R的一个保持依赖的分解，再并上候选码； 即：（原模式）候选码 U 保持依赖的3NF分解；
案例（1）：关系模式R<U,F>，其中：U={C,T,H,R,S,G}，F={CS→G,C→T,TH→R,HR→C,HS→R}，分解成3NF并保持无损连接和函数依赖。
①找出候选码： HS；
②模式分解成保持依赖的3NF为：ρ={R1(GSC),R2(CT),R3(THR),R4(HRC),R5(HSR)};
③将原候选码，作为一个关系，加入ρ中，即：τ={CT，CSG，CHR，HSR，HRT，HS}；
而由于：HS是模式HSR的一个子集，所以消去HS后的分解{CT，CSG，CHR，HSR，HRT}就是具有无损联接性和保持函数依赖性的分解，且其中每一个模式均为3NF。
案例（2）：已知:关系模式R(U,F) U=ABCD F={A→C,C→A,B→AC,D→AC}，将模式R无损失连接且保持函数依赖分解为3NF。
①找出候选码： BD；
②求出关系F的最小依赖集：F={A→C,C→A,B→C,D→C}；
③模式分解成保持依赖的3NF为：ρ={R1(AC),R2(BC),R3(CD)};
④将模式R无损失连接且保持函数依赖分解为3NF：ρ={R1(AC),R2(BC),R3(CD)，R4（BD）};
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