第三课：求导四则运算及三角函数导数
证明 (sinx)' 和 (cosx)'
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第四课：链式法则及高阶导数
CHAIN RULE （25：55处）
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第六课：指数与对数函数导数、对数微分法
对指数形式的函数求导，两边取ln；
自然对数中那个 e = (1 + (1 / n))^n，当n趋向无穷大时； （42：00处）
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第七课：复习
Natural logrithm is really natural. （10:30处），经济学的例子，（p'）/ p = (ln(p))'。p'表示股市价格波动，p为总价格；
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第八课：线性和二阶近似
线性近似的常用公式(22：00处):
f(x) ~= f(x0) + f'(x0)(x-x0); <=> delta(f)/delta(x) = f'(x0); 当x0 = 0, f(x) = f(0) + f'(0)x;
sin(x) = x;
cos(x) = 1;
e^x = 1+x;
ln(1+x) = x;
(1+x)^r = 1 + rx;
线性近似的实际应用 (30:00 处); 由于狭义相对论导致GPS卫星在计算时间时的误差修正;
二阶近似(quadratic approximation), (39:33处):
f(x) ~= f(x0) + f'(x0)(x-x0) + (f''(x0)/2)(x-x0); 以 sin(x)为例，可以看到二阶近似比线性近似更加接近于原始曲线(45:30处)；
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第九课：曲线构图
f' > 0 => f is incresing; f' < 0 => f is decreasing;
f'' > 0 => f is concave up; f'' < 0 => f is concave down;
拐点 inflection point; 驻点 critical point;
f' 不等于0，则没有critical point;
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第十一课：最大值最小值应用
球盒子边长比例关系，得到最优的盒子，容量最大；假设底面为正方形（因为单变量微分，多变量可以求出3边关系），底边和高比为 2 时，最优；
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第十二课：应用举例，牛顿迭代法开篇
开头延续上一课结尾处的例子，利用相关变率判断超速问题，交警以雷达得到斜线方向速度，求出沿着公路的直线速度；
第二个例子是往一个圆锥体中注水，注水的体积按时间变化率固定，求液面的上升速率；(6：00处)
第三个例子，绳子的两端不等高，就绳子上的重物停留的位置；扩展到吊索桥吊绳的设计问题；(18：50处)，另外，这个例子让我对MIT教授映像深刻！
Neton's Method: x0 = x0 - ( f(x0) / f'(x0) ); x1 = x1 - ( f(x1) / f'(x1) ); ... xn = xn - ( f(xn) / f'(xn) );
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第十三课：中值定理及不等式
Mean Value Theorem: ( f( b ) – f( a ) ) / ( b – a) ) = f’( c ); 从图形上来理解，就是在区间[a, b]间，有一条切线与直线ab平行；
Inequalities: min f’ <= f’( c ) <= max f’
利用这个不等式可以证明 e^x > 1 + x + x^2/2 + x^3/( 3 * 2) + … + x^n/n!; n趋向无穷大是的极限等于e^x; (视频 45：00处)；
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第十四课：无穷小量和不定积分
例子，利用 dx，dy 线性近似，(64.1)^(1/3)，先计算出 64^(1/3),然后求出 dx=1/10 时，dy 等于多少；(6:27 处)
举例说明求积分的方法：1，换元法；2，猜一个结果，对结果求导数，根据求导结果修正猜测的值；例子有：
16:42, integral ( sin x )dx
18:24, integral ( x^a )dx
20:00, integral ( 1 / x )dx
24:33, integral ( sec^2(x) )dx
31:00, integral ( x^3 * (x^4 + 2)^5 )dx
36:40, integral ( x / sqrt( 1 + x^2 ) )dx
38:30, integral ( e ^ (6x) )dx
39:30, integral ( x * e^( –1 * x^2 ) )dx
41:20, integral ( sin x * cos x )dx
46:30, integral ( 1 / (x * ln x) )dx
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第十五课：微分方程和分离变量
这节课介绍了求解微分方程的一种方法：1, separate variables; 2, find antiderivatives, then you get implicit solution; 3, get explicit solution;
example at 03:56, (d/dx + x)y = 0;
example at 26:35, 求函数，在(x,y)处切线斜率是2*(y/x)，演示了微分方程的应用；建立微分方程，然后解方程；这个例子的解是抛物线；
example at 36:24, 求函数，在(x,y)处的切线，与直线(0,0), (x, y)垂直；
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求区间 [0, b] 上 f( x ) = x^2 定积分为例子，说明定积分，在 17：00 处利用金字塔的例子很好的说明了不等式 1/3 < (1 + 2^2 + 3^2 + … + n^2)/n^3 < 1/3 * (1+1/n)^3
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第十七课：Fundamental Theorem of Calculus 1
微积分第一定理：如果 F’ = f，那么从a到b integral( f( x ) )dx 等于 F( b ) – F( a );
10:30: intuitive interpretation of FTC; (学会2个新单词 odometer, speedometer)
22:30: properties of integrals
40:30: example of substitution integral
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第十八课：FTC2
微积分第二定理：如果 G(x) 等于 从 a 到 x，integral( f(t) )dt，那么 G’(x) = f(x)；注意这里积分上限为x，对t积分；也就是积分上限是变化的；
03：09，比较FTC1 和 MVT （中值定理）
22：00，FTC2
24：17，一个简单的例子来说明FTC2，对f(t)积分再求导，就是f(x)，由于积分上限是变量x，下限是常数c，直接将x替换t，得到f(x);
29：40，对FTC2做图证明，对FTC1证明
43：00，例子，如果 L’(x) = 1/x 并且 L(1) = 0;那么L(x) = 从1到x integral(1/t)dt
46：17，例子，Y’ = e^(-x^2) Y(0)=0; 那么Y(x)=从0到x integral( e^(-t^2) )dt;
这里得到的函数是之前其他形式所不能表达的，所以用FTC2可以表述“新函数”
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03：00，自然对数的定义，该例子中绘图进行了说明；
15:00，新函数不能用基础数学形式(elementary terms)表述，这里例子绘图进行了说明；
28：40，求面积；
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第二十课：积分求体积
7:50，method 1: method of disks
11:13, example
21:30, method 2: method of shells & example “witch’s cauldron”
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第二十课：平均值和概率
21:00，加权平均值
28:46，“witches’ cauldron” example, 加热大锅里的水，要多少热量，温度函数T，体积函数pi*x^2，相乘后积分；
求平均温度，即用到加权均值，因为从底部到顶部，体积是变化的，体积就是“权”；
47：40，概率，部分除以全部；
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第二十二课：一个计算概率的例子；数值积分
计算概率的一个典型例子，飞镖（dart）射中站在飞镖盘边的小孩的概率
概率的模型函数是e^((-r)^2)，该函数旋转，然后求积分，部分除以全部
35：00，数值积分（numerical integration）
Riemann Sum
trapezoidal rule
Simpson’s rule
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第二十三课：继续数值积分的例子；复习
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第二十四课：三角函数换元法
基本三角函数公式，在换元法中广泛应用
换元法中，如果sin或者cos中有奇数，替换奇数项，这种情况比较简单
如果全是偶数项，较困难一些
一个应用的例子，30：07，求圆中的部分面积
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第二十五课：三角换元法，逆向换元法，带平方积分
trig functions
example of trig subsititution
这是个很tricky的例子
trig subsititution
trig substitution and undoing trig substitution
summary of x^2
completing the square
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