经典算法问题 - 最大连续子数列和

文章来自：http://conw.net/archives/9/

（不是抄袭，那是我自己的博客，源地址查看代码有高亮）

最大连续子数列和一道很经典的算法问题，给定一个数列，其中可能有正数也可能有负数，我们的任务是找出其中连续的一个子数列（不允许空序列），使它们的和尽可能大。我们一起用多种方式，逐步优化解决这个问题。

为了更清晰的理解问题，首先我们先看一组数据：
8
-2 6 -1 5 4 -7 2 3
第一行的8是说序列的长度是8，然后第二行有8个数字，即待计算的序列。
对于这个序列，我们的答案应该是14，所选的数列是从第2个数到第5个数，这4个数的和是所有子数列中最大的。

最暴力的做法，复杂度O(N^3)

暴力求解也是容易理解的做法，简单来说，我们只要用两层循环枚举起点和终点，这样就尝试了所有的子序列，然后计算每个子序列的和，然后找到其中最大的即可，C语言代码如下：

#include <stdio.h>

//N是数组长度，num是待计算的数组，放在全局区是因为可以开很大的数组
int N, num[1024];

int main()
{
    //输入数据
    scanf("%d", &N);
    for(int i = 1; i <= N; i++)
        scanf("%d", &num[i]);
    
    int ans = num[1]; //ans保存最大子序列和，初始化为num[1]能保证最终结果正确
    //i和j分别是枚举的子序列的起点和终点，k所在循环计算每个子序列的和
    for(int i = 1; i <= N; i++) {
        for(int j = i; j <= N; j++) {
            int s = 0;
            for(int k = i; k <= j; k++) {
                s += num[k];
            }
            if(s > ans) ans = s;
        }
    }
    printf("%d\n", ans);

    return 0;
}

 

这个算法的时间复杂度是O(N^3)，复杂度的计算方法可参考《算法导论》第一章，如果我们的计算机可以每秒计算一亿次的话，这个算法在一秒内只能计算出500左右长度序列的答案。

一个简单的优化

如果你读懂了刚才的程序，我们可以来看一个简单的优化。
如果我们有这样一个数组sum，sum[i]表示第1个到第i个数的和。那么我们如何快速计算第i个到第j个这个序列的和？对，只要用sum[j] - sum[i-1]就可以了！这样的话，我们就可以省掉最内层的循环，让我们的程序效率更高！C语言代码如下：

#include <stdio.h>

//N是数组长度，num是待计算的数组，sum是数组前缀和，放在全局区是因为可以开很大的数组
int N, num[16384], sum[16384];

int main()
{
    //输入数据
    scanf("%d", &N);
    for(int i = 1; i <= N; i++)
        scanf("%d", &num[i]);
    
    //计算数组前缀和
    sum[0] = 0;
    for(int i = 1; i <= N; i++) {
        sum[i] = num[i] + sum[i - 1];
    }

    int ans = num[1]; //ans保存最大子序列和，初始化为num[1]能保证最终结果正确
    //i和j分别是枚举的子序列的起点和终点
    for(int i = 1; i <= N; i++) {
        for(int j = i; j <= N; j++) {
            int s = sum[j] - sum[i - 1];
            if(s > ans) ans = s;
        }
    }
    printf("%d\n", ans);

    return 0;
}

 

这个算法的时间复杂度是O(N^2)。如果我们的计算机可以每秒计算一亿次的话，这个算法在一秒内能计算出10000左右长度序列的答案，比之前的程序已经有了很大的提升！此外，我们在这个程序中创建了一个sum数组，事实上，这也是不必要的，我们我就也可以把数组前缀和直接计算在num数组中，这样可以节约一些内存。

换个思路，继续优化

你应该听说过分治法，正是：分而治之。我们有一个很复杂的大问题，很难直接解决它，但是我们发现可以把问题划分成子问题，如果子问题规模还是太大，并且它还可以继续划分，那就继续划分下去。直到这些子问题的规模已经很容易解决了，那么就把所有的子问题都解决，最后把所有的子问题合并，我们就得到复杂大问题的答案了。可能说起来简单，但是仍不知道怎么做，接下来分析这个问题：
首先，我们可以把整个序列平均分成左右两部分，答案则会在以下三种情况中：
1、所求序列完全包含在左半部分的序列中。
2、所求序列完全包含在右半部分的序列中。
3、所求序列刚好横跨分割点，即左右序列各占一部分。
前两种情况和大问题一样，只是规模小了些，如果三个子问题都能解决，那么答案就是三个结果的最大值。我们主要研究一下第三种情况如何解决：

我们只要计算出：以分割点为起点向左的最大连续序列和、以分割点为起点向右的最大连续序列和，这两个结果的和就是第三种情况的答案。因为已知起点，所以这两个结果都能在O(N)的时间复杂度能算出来。

递归不断减小问题的规模，直到序列长度为1的时候，那答案就是序列中那个数字。
综上所述，C语言代码如下，递归实现：

#include <stdio.h>

//N是数组长度，num是待计算的数组，放在全局区是因为可以开很大的数组
int N, num[16777216];

int solve(int left, int right)
{
    //序列长度为1时
    if(left == right)
        return num[left];
    
    //划分为两个规模更小的问题
    int mid = left + right >> 1;
    int lans = solve(left, mid);
    int rans = solve(mid + 1, right);
    
    //横跨分割点的情况
    int sum = 0, lmax = num[mid], rmax = num[mid + 1];
    for(int i = mid; i >= left; i--) {
        sum += num[i];
        if(sum > lmax) lmax = sum;
    }
    sum = 0;
    for(int i = mid + 1; i <= right; i++) {
        sum += num[i];
        if(sum > rmax) rmax = sum;
    }

    //答案是三种情况的最大值
    int ans = lmax + rmax;
    if(lans > ans) ans = lans;
    if(rans > ans) ans = rans;

    return ans;
}

int main()
{
    //输入数据
    scanf("%d", &N);
    for(int i = 1; i <= N; i++)
        scanf("%d", &num[i]);

    printf("%d\n", solve(1, N));

    return 0;
}

 

不难看出，这个算法的时间复杂度是O(N*logN)的（想想归并排序）。它可以在一秒内处理百万级别的数据，甚至千万级别也不会显得很慢！这正是算法的优美之处。对递归不太熟悉的话可能会对这个算法有所疑惑，那可就要仔细琢磨一下了。

动态规划的魅力，O(N)解决！

很多动态规划算法非常像数学中的递推。我们如果能找到一个合适的递推公式，就能很容易的解决问题。
我们用dp[n]表示以第n个数结尾的最大连续子序列的和，于是存在以下递推公式：
dp[n] = max(0, dp[n-1]) + num[n]
仔细思考后不难发现这个递推公式是正确的，则整个问题的答案是max(dp[m]) | m∈[1, N]。C语言代码如下：

#include <stdio.h>

//N是数组长度，num是待计算的数组，放在全局区是因为可以开很大的数组
int N, num[134217728];

int main()
{
    //输入数据
    scanf("%d", &N);
    for(int i = 1; i <= N; i++)
        scanf("%d", &num[i]);
    
    num[0] = 0;
    int ans = num[1];
    for(int i = 1; i <= N; i++) {
        if(num[i - 1] > 0) num[i] += num[i - 1];
        else num[i] += 0;
        if(num[i] > ans) ans = num[i];
    }

    printf("%d\n", ans);

    return 0;
}

 

这里我们没有创建dp数组，根据递归公式的依赖关系，单独一个num数组就足以解决问题，创建一个一亿长度的数组要占用几百MB的内存！这个算法的时间复杂度是O(N)的，所以它计算一亿长度的序列也不在话下！不过你如果真的用一个这么大规模的数据来测试这个程序会很慢，因为大量的时间都耗费在程序读取数据上了！

另辟蹊径，又一个O(N)的算法

考虑我们之前O(N^2)的算法，即一个简单的优化一节，我们还有没有办法优化这个算法呢？答案是肯定的！
我们已知一个sum数组，sum[i]表示第1个数到第i个数的和，于是sum[j] - sum[i-1]表示第i个数到第j个数的和。
那么，以第n个数为结尾的最大子序列和有什么特点？假设这个子序列的起点是m，于是结果为sum[n] - sum[m-1]。并且，sum[m]必然是sum[1],sum[2]...sum[n-1]中的最小值！这样，我们如果在维护计算sum数组的时候，同时维护之前的最小值， 那么答案也就出来了！为了节省内存，我们还是只用一个num数组。C语言代码如下：

#include <stdio.h>

//N是数组长度，num是待计算的数组，放在全局区是因为可以开很大的数组
int N, num[134217728];

int main()
{
    //输入数据
    scanf("%d", &N);
    for(int i = 1; i <= N; i++)
        scanf("%d", &num[i]);
    
    //计算数组前缀和，并在此过程中得到答案
    num[0] = 0;
    int ans = num[1], lmin = 0;
    for(int i = 1; i <= N; i++) {
        num[i] += num[i - 1];
        if(num[i] - lmin > ans)
            ans = num[i] - lmin;
        if(num[i] < lmin)
            lmin = num[i];
    }

    printf("%d\n", ans);

    return 0;
}

 

看起来我们已经把最大连续子序列和的问题解决得很完美了，时间复杂度和空间复杂度都是O(N)，不过，我们确实还可以继续！

大道至简，最大连续子序列和问题的完美解决

很显然，解决此问题的算法的时间复杂度不可能低于O(N)，因为我们至少要算出整个序列的和，不过如果空间复杂度也达到了O(N)，就有点说不过去了，让我们把num数组也去掉吧！

#include <stdio.h>

int main()
{
    int N, n, s, ans, m = 0;

    scanf("%d%d", &N, &n); //读取数组长度和序列中的第一个数
    ans = s = n; //把ans初始化为序列中的的第一个数
    for(int i = 1; i < N; i++) {
        if(s < m) m = s;
        scanf("%d", &n);
        s += n;
        if(s - m > ans)
            ans = s - m;
    }
    printf("%d\n", ans);

    return 0;
}

 

这个程序的原理和另辟蹊径，又一个O(N)的算法中介绍的一样，在计算前缀和的过程中维护之前得到的最小值。它的时间复杂度是O(N)，空间复杂度是O(1)，这达到了理论下限！唯一比较麻烦的是ans的初始化值，不能直接初始化为0，因为数列可能全为负数！

至此，最大连续子序列和的问题已经被我们完美解决！然而以上介绍的算法都只是直接求出问题的结果，而不能求出具体是哪一个子序列，其实搞定这个问题并不复杂，具体怎么做留待读者思考吧！