麻雀虽小，五脏俱全。让我们从线性方程组开始，探索二阶行列式的奥秘吧！
一、解方程组
标准二元一次方程组
首先定义两个二元一次方程的方程组标准式如下：
\[\left\{\begin{matrix} \tag{1}
a_{11}x_1 + a_{12}x_2 = b_1 \\
a_{21}x_1 + a_{22}x_2 = b_2
\end{matrix}\right.
\]
方程求解
为了解出\(x_1,x_2\)，我们引入变量\(A_{11},A_{21}\)，分别乘以式 \((1)\) 中相应等式，然后两式相加得
\[(a_{11}A_{11} + a_{21}A_{21})x_1 + (a_{12}A_{11} + a_{22}A_{21})x_2 = b_{1}A_{11} + b_{2}A_{21} \tag{2}
\]
令\(A_{11},A_{21}\)满足下列条件：
\[\begin{cases}
(a_{11}A_{11} + a_{21}A_{21})x_1 &= b_{1}A_{11} + b_{2}A_{21} \\
(a_{12}A_{11} + a_{22}A_{21}) &= 0 \tag{3}
\end{cases}
\]
若\(a_{22}\neq0,A_{11}\neq0\)，由 \(a_{12}A_{11} + a_{22}A_{21} = 0 \Rightarrow \cfrac{a_{12}}{a_{22}} = -\cfrac{A_{21}}{A_{11}}\)，
若取 \(A_{11} = -a_{22}, A_{21}=a_{12}\)，代入 \((3.1)\) 式中得
\[(-a_{11}a_{22} + a_{21}a_{21})x_1 = -b_{1}a_{22} + b_{2}a_{21} \tag{4}
\]
若取 \(A_{11} = a_{22}, A_{21}=-a_{12}\)，代入 \((3.1)\) 式中得
\[(a_{11}a_{22} - a_{21}a_{21})x_1 = b_{1}a_{22} - b_{2}a_{21} \tag{5}
\]
行列式的引入
观察方程组 \((1)\) 的系数表，
\[\begin{matrix}
a_{11} & a_{12}\\
a_{21} & a_{22} \tag{6}
\end{matrix}
\]
比较\((4),(5)\)中 \(x_1\) 的系数，式 \((5)\) 中的系数看上去与式 \((6)\) 相近。由此，我们引入一个记法 行列式 ，其定义如下：
\[\begin{vmatrix} \tag{7}
a & b\\
c & d
\end{vmatrix} = ad - bc
\]
于是式 \((5)\) 可以表示为
\[\begin{vmatrix} \tag{8}
a_{11} & a_{12}\\
a_{21} & a_{22}
\end{vmatrix}x_1 = \begin{vmatrix}
b_{1} & a_{12}\\
b_{2} & a_{22}
\end{vmatrix}
\]
令 \(|A|=\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12}\\
a_{21} & a_{22}
\end{vmatrix},|A_1|=\begin{vmatrix}
b_{1} & a_{12}\\
b_{2} & a_{22}
\end{vmatrix}\) ，则若 \(|A|\neq0\) ，则
\[x_1 = \cfrac{ \begin{vmatrix}
b_{1} & a_{12}\\
b_{2} & a_{22}
\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12}\\
a_{21} & a_{22}
\end{vmatrix}}=\cfrac{|A_1|}{|A|} \tag{9}
\]
同理，可得\(|A_2|=\begin{vmatrix}
a_{11} & b_{1}\\
a_{21} & b_{2}
\end{vmatrix}\)
\[x_2 = \cfrac{ \begin{vmatrix}
a_{11} & b_{1}\\
a_{21} & b_{2}
\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12}\\
a_{21} & a_{22}
\end{vmatrix}}=\cfrac{|A_2|}{|A|} \tag{10}
\]
二、行列式的性质
由式 \((7)\) 中行列式的定义，我们发现二阶行列式有如下性质：
1. 上（下）三角行列式等于其主对角元素之积
\(|A| = a_{11}a_{22}\)
2. 若某一行（列）元素全部为0，则行列式为0
\[|A|=\begin{vmatrix}
0 & b\\
0 & d
\end{vmatrix}=0d-0b=0
\]
\[|A|=\begin{vmatrix}
0 & 0\\
c & d
\end{vmatrix}=0d-0c=0
\]
3. 若用常数 \(k\) 乘以某一行（列），则得到的行列式为原行列式的 \(k\) 倍
\[\begin{vmatrix}
ka & kb\\
c & d
\end{vmatrix}=kad-kbc=k(ad-bc)=k\begin{vmatrix}
a & b\\
c & d
\end{vmatrix} = k|A|
\]
\[\begin{vmatrix}
ka & b\\
kc & d
\end{vmatrix}=kad-kbc=k(ad-bc)=k\begin{vmatrix}
a & b\\
c & d
\end{vmatrix} = k|A|
\]
4. 交换行列式不同的两行（列），行列式的值改变符号
\[\begin{vmatrix}
a & b\\
c & d
\end{vmatrix}=ad-bc=-(cb-da)=-\begin{vmatrix}
c & d\\
a & b
\end{vmatrix}
\]
\[\begin{vmatrix}
a & b\\
c & d
\end{vmatrix}=ad-bc=-(bc-ad)=-\begin{vmatrix}
b & a\\
d & c
\end{vmatrix}
\]
5. 若行列式两行（列）成比例，则行列式的值等于0。特别的，若行列式两行（列）相同，则行列式的值等于0
\[\begin{vmatrix}
ka & kb\\
a & b
\end{vmatrix}=kab-kab=0
\]
\[\begin{vmatrix}
ka & a\\
kc & c
\end{vmatrix}=kac-kac=0
\]
6. 行列式加法：若某一行（列）元素均为两项之和，则行列式可以表示为两个行列式之和
\[\begin{vmatrix}
a_1+a_2 & b_1+b_2\\
c & d
\end{vmatrix}=(a_1+a_2)d-(b_1+b_2)c=(a_1d-b_1c)+(a_2d-b_2c)=\begin{vmatrix}
a_1 & b_1\\
c & d
\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}
a_2 & b_2\\
c & d
\end{vmatrix}
\]
\[\begin{vmatrix}
a_1+a_2 & b\\
c_1+c_2 & d
\end{vmatrix}=(a_1+a_2)d-b(c_1+c_2)=(a_1d-bc_1)+(a_2d-bc_2)=\begin{vmatrix}
a_1 & b\\
c_1 & d
\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}
a_2 & b\\
c_2 & d
\end{vmatrix}
\]
7. 行列式的某一行（列）乘以某个数加到另一行（列）上，行列式的值不变
利用性质6和性质5可得
\[\begin{vmatrix}
a+kc & b+kd\\
c & d
\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}
a & b\\
c & d
\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}
kc & kd\\
c & d
\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}
a & b\\
c & d
\end{vmatrix}
\]
\[\begin{vmatrix}
a+kb & b\\
c+kd & d
\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}
a & b\\
c & d
\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}
kb & b\\
kd & d
\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}
a & b\\
c & d
\end{vmatrix}
\]
8. 行列式和其转置具有相同的值
\[|A|=\begin{vmatrix}
a & b\\
c & d
\end{vmatrix} = ad - bc = ad - cb = \begin{vmatrix}
a & c\\
b & d
\end{vmatrix}=|A^T|
\]
三、行列式性质应用
现在我们用行列式的性质来解二元一次方程组 \((1)\)
将 \(b_1,b_2\) 代入下面的行列式：
\[|A_1|=\begin{vmatrix}
b_{1} & a_{12}\\
b_{2} & a_{22}
\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}
a_{11}x_1 + a_{12}x_2 & a_{12}\\
a_{21}x_1 + a_{22}x_2 & a_{22}
\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}
a_{11}x_1 & a_{12}\\
a_{21}x_1 & a_{22}
\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}
a_{12}x_2 & a_{12}\\
a_{22}x_2 & a_{22}
\end{vmatrix}=x_1\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12}\\
a_{21} & a_{22}
\end{vmatrix}=x_1|A|
\]
结论与式 \((8)\) 相同😎。
从这里我们得到启发，既然用二阶行列式性质就可以求解二元一次方程组，那么只要从性质着手定义出一般的n阶行列式，我们就可以未出n元线性方程组的解。—— 《高等代数学》(复旦大学 姚慕生 昊泉水 谢启鸿)
