向量组的秩

向量组的秩

定义 3.5.1 极大无关组

设在线性空间\(V\)中有一族向量\(S\)（其中可能只有有限个向量，也可能有无限个向量），如果在\(S\)中存在一组向量\(\{\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_r\}\)适合下列条件：

1. \({\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_r}\)线性无关；
2. 这族向量中的任意一个向量都可以用\({\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_r}\)线性表示，

那么称\(\{\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_r\}\)是向量族\(S\)的极大线性无关组，简称极大无关组。

上述定义(2)表示若将\(S\)中任一向量\(\alpha\)加入\(\{\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_r\}\)，则向量组\(\{\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_r,\alpha\}\)一定线性相关。

命题 3.5.1 极大无关组的存在性

设\(S\)是有限个向量组成的向量族且至少包含一个非零向量，则\(S\)r的极大无关组一定存在。

引理 3.5.1 向量组间个数关系

设\(A,B\)是\(V\)中两组向量，\(A\)含有\(r\)个向量，\(B\)含有\(s\)个向量。如果\(A\)中向量线性无关且\(A\)中每个向量均可用\(B\)中向量线性表示，则\(r\le s\)。

引理 3.5.1 的逆否命题用一句话来概括：“多”若可以用“少”来线性表示，则“多”线性相关。

引理 3.5.2 无关组间个数关系

设\(A,B\)都是\(V\)中线性无关的向量组，又\(A\)中任一向量均可用\(B\)中向量线性表示，\(B\)中任一向量也可用\(A\)中向量线性表示，则这两组向量所含的向量个数相等。

定理 3.5.1 向量族的极大无关组向量个数相等

设\(A,B\)都是向量族\(S\)的极大线性无关组，则\(A,B\)所含的向量个数相等。

定义 3.5.2 向量族的秩

向量族\(S\)的极大无关组所含的向量个数称为\(S\)的秩，记做\(rank(S)\)或\(r(S)\)。

定义 3.5.3 向量组等价

若向量组\(A\)和\(B\)可以互相线性表示，则称这两个向量组等价。

定理 3.5.2 等价的向量组有相同的秩

定义 3.5.4 基

设\(V\)是数域\(K\)上的线性空间，若在\(V\)中存在线性无关的向量\(\{e_1,e_2,\cdots,e_n\}\)，使得\(V\)中任一向量均可表示为这组向量的线性组合，则称\(\{e_1,e_2,\cdots,e_n\}\)是\(V\)的一组基，线性空间\(V\)称为\(n\)维线性空间（具有维数\(n\)）。如果不存在有限个向量组成 \(V\)的一组基，则称\(V\)是无限维向量空间。

注：对任一无限维线性空间，也有基的概念。无限维线性空间的存在性证明超出了高等代数的范围。

推论 3.5.1 n维线性空间\(V\)中任一超过\(n\)个向量的向量组必线性相关

定理 3.5.3 基的形式

设\(V\)是\(n\)维线性空间，\(\{e_1,e_2,\cdots,e_n\}\)是\(V\)中的\(n\)个向量。若它们适合下列条件之一，则\(\{e_1,e_2,\cdots,e_n\}\)是\(V\)的一组基：

1. \({e_1,e_2,\cdots,e_n}\)线性无关；
2. \(V\)中任一向量均可由\({e_1,e_2,\cdots,e_n}\)线性表示。

定理 3.5.4 基的组成

设\(V\)是\(n\)维线性空间，\({v_1,v_2,\cdots,v_m}\)是\(V\)中的\(m(m<n)\)个线性无关的向量，又假定\(\{e_1,e_2,\cdots,e_n\}\)是\(V\)的一组基，则必可在\(\{e_1,e_2,\cdots,e_n\}\)中选出\(n-m\)个向量，使之的\({v_1,v_2,\cdots,v_m}\)一起组成\(V\)的一组基。