线性方程组和矩阵

第一章 线性方程组和矩阵

同济大学(线性代数)

目录

• 第一章 线性方程组和矩阵
  • 第一节 矩阵的概念及运算
    • 一、矩阵的定义
      • 定义1 矩阵定义
      • 定义2 矩阵相等
    • 二、矩阵的线性运算
      • 定义3 矩阵加法\(A+B\)
      • 定义4 矩阵数乘\(kA\)
    • 三、矩阵的乘法
      • 定义5 矩阵乘法\(A_{m×p}B_{p×n}\)
    • 四、矩阵的转置
      • 定义6 矩阵转置\(A_{m×n}\)
      • 定义7 对称矩阵,反对称矩阵
  • 第二节 分块矩阵
    • 一、分块矩阵的概念
    • 二、分块矩阵的运算
  • 第三节 线性方程组与矩阵的初等变换
    • 一、矩阵的初等变换
      • 定义1 下面三种变换称为矩阵的初等行变换
      • 定义2 矩阵等价
  • 第四节 初等矩阵与矩阵的逆矩阵
    • 一、方阵的逆矩阵
      • 1. 逆矩阵的定义
      • 2. 逆矩阵的性质
    • 二、初等矩阵
    • 三、初等矩阵与逆矩阵的应用

第一节 矩阵的概念及运算

［课前导读］
线性方程组的求解是线性代数要研究的重要问题之一，而矩阵是求解线性方程组的核心工具．另一方面，矩阵理论在自然科学、工程技术、经济管理等领域中有着广泛的应用，是一些实际问题得以解决的基本工具．这一节我们通过线性方程组和矩阵的关系引出矩阵的定义，并给出矩阵的运算及运算性质．在正式学习矩阵之前，需要读者了解线性方程组的相关知识.

一、矩阵的定义

由\(m\)个方程\(n\)个未知量\(x_1,x_2,...,x_n\)构成的线性（即:一次）方程组可以表示为

\[\tag{1-1}\left\{\begin{aligned} a_{11}x_1+a_{12}x_2+...+a_{1n}x_n=b_1 \\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+...+a_{2n}x_n=b_2 \\ ... \\ a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+...+a_{mn}x_n=b_m \\ \end{aligned}\right.\]

在线性方程组中，未知量用什么字母表示无关紧要，重要的是方程组中未知量的个数以及未知量的系数和常数项．也就是说，线性方程组（1-1）由常数\(a_{ij}(i=1，2，…，m；j=1，2，…，n)\)和\(b_i(i=1，2，…，m)\)完全确定，所以可以用一个\(m×(n+1)\)个数排成的\(m\)行\(n+1\)列的数表

\[\widetilde{A}=\begin{bmatrix} {a_{11}}&{a_{12}}&{\cdots}&{a_{1n}}&{b_1}\\ {a_{21}}&{a_{22}}&{\cdots}&{a_{2n}}&{b_2}\\ {\vdots}&{\vdots}&{\ddots}&{\vdots}\\ {a_{m1}}&{a_{m2}}&{\cdots}&{a_{mn}}&{b_m}\\ \end{bmatrix} \]

表示线性方程组（1-1）．这个数表的第\(j（j=1，2，…，n）\)列表示未知量\(x_j（j=1，2，…，n）\)前的系数，第\(i（i=1，2，…，m）\)行表示线性方程组（1-1）中的第\(i（i=1，2，…，m）\)个方程，这个数表反映了线性方程组（1-1）的全部信息．反之，任意给定一个\(m\)行\(n+1\)列的数表，可以通过这个数表写出一个线性方程组．因此，线性方程组与这样的数表之间有了一个对应关系．

定义1 矩阵定义

\(m×n\)个数\(a_{ij}(i=1,2,{\cdots},m;j=1,2,{\cdots},n)\)排成的\(m\)行\(n\)列的数表

\[\begin{bmatrix} {a_{11}}&{a_{12}}&{\cdots}&{a_{1n}}\\ {a_{21}}&{a_{22}}&{\cdots}&{a_{2n}}\\ {\vdots}&{\vdots}&{\ddots}&{\vdots}\\ {a_{m1}}&{a_{m2}}&{\cdots}&{a_{mn}}\\ \end{bmatrix}\]

称为一个\(m×n\)矩阵，简记为\((a_{ij})\)，有时为了强调矩阵的行数和列数，也记为\((a_{ij})_{m×n}\)．数\(a_{ij}\)位于矩阵\((a_{ij})\)的第\(i\)行第\(j\)列，称为矩阵的\((i,j)\)元素，其中\(i\)称为元素\(a_{ij}\)的行标，\(j\)称为元素\((_{ij}\)的列标．

一般地，常用英文大写字母\(A,B,…\)或字母\(α，β，γ，…\)表示矩阵，如\(A=(a_{ij}), B=(b_{ij}),A_{m×n},B_{m×n}\)等．

元素是实数的矩阵称为实矩阵，元素是复数的矩阵称为复矩阵．本书中的矩阵除特别指明外，都是指实矩阵．

\(1×1\)的矩阵

\(1×n\)的矩阵, 称为行矩阵,也称为\(n\)维行向量.

\[(a_1, a_2, {\cdots}, a_n) \]

\(n×1\)的矩阵, 称为列矩阵,也称为\(n\)维列向量.

\[\begin{bmatrix}a_1\\ a_2\\ {\vdots} \\a_n\\\end{bmatrix} \]

所有元素都是零的\(m×n\)的矩阵称为零矩阵,记为\(O_{m×n}\), 或简记为\(O\).

\(n×n\)的矩阵称为方阵. 元素\(a_{ii}(i=1, 2, {\cdots}, n)\)所在的位置称为\(n\)阶方阵的主对角线.

上三角

\[\begin{bmatrix} {a_{11}}&0&{\cdots}&0\\ {a_{21}}&{a_{22}}&{\cdots}&0\\ {\vdots}&{\vdots}&{\ddots}&{\vdots}\\ {a_{n1}}&{a_{n2}}&{\cdots}&{a_{nn}}\\ \end{bmatrix}\]

下三角

\[\begin{bmatrix} {a_{11}}&{a_{12}}&{\cdots}&{a_{1n}}\\ 0 & {a_{22}}&{\cdots}&{a_{2n}}\\ {\vdots}&{\vdots}&{\ddots}&{\vdots}\\ 0 & 0 & {\cdots}&{a_{nn}}\\ \end{bmatrix}\]

对角阵, \(diag(a_1, a_2, {\cdots}, a_n)\)

\[\begin{bmatrix} {a_{1}}&0&{\cdots}&0\\ 0 & {a_{2}}&{\cdots}&0\\ {\vdots}&{\vdots}&{\ddots}&{\vdots}\\ 0 & 0 & {\cdots}&{a_{n}}\\ \end{bmatrix}\]

单位矩阵\(E_n\)或\(E\)

\[E=\begin{bmatrix} 1&0&{\cdots}&0\\ 0 & 1&{\cdots}&0\\ {\vdots}&{\vdots}&{\ddots}&{\vdots}\\ 0 & 0 & {\cdots}&1\\ \end{bmatrix}\]

定义2 矩阵相等

两个矩阵的行数相等、列数也相等，则称这两个矩阵为同型矩阵．如果两个同型矩阵\(A=(a_{ij})_{m×n}\)和\(B=(b_{ij})_{m×n}\)中所有对应位置的元素都相等，即\(a_{ij}=b_{ij}\)，其中\(i=1, 2, {\cdots}, m; j=1, 2, {\cdots}, n\)则称矩阵\(A\)和\(B\)相等，记为\(A=B\)．

二、矩阵的线性运算

定义3 矩阵加法\(A+B\)

设\(A=(a_{ij})_{m×n}\)和\(B=(b_{ij})_{m×n}\)是两个同型矩阵，则矩阵\(A\)与\(B\)的和记为\(A+B\)，规定

\[A+B=\begin{pmatrix} {a_{11}+b_{11}}&{a_{12}+b_{12}}&{\cdots}&{a_{1n}+b_{1n}}\\ {a_{21}+b_{21}}&{a_{22}+b_{22}}&{\cdots}&{a_{2n}+b_{2n}}\\ {\vdots}&{\vdots}&{\ddots}&{\vdots}\\ {a_{m1}+b_{m1}}&{a_{m2}+b_{m2}}&{\cdots}&{a_{mn}+b_{mn}}\\ \end{pmatrix} \]

同型矩阵的加法就是两个矩阵对应位置上元素的加法，由此易知矩阵的加法满足如下的运算规律：设\(A，B，C\)是任意三个\(m×n\)矩阵，则

1. 交换律：\(A+B=B+A\)；
2. 结合律：\((A+B)+C=A+(B+C)\)；
3. \(A+O_{m×n}=O_{m×n}+A=A\)．

对于矩阵\(A=(a_{ij})_{m×n}\)，称矩阵\((-a_{ij})_{m×n}\)为矩阵\(A\)的负矩阵，记为\(-A\)．显然，\(A+(-A)=O_{m×n}\)．由此可以定义矩阵\(A=(a_{ij})_{m×n}\)和\(B=(b_{ij})_{m×n}\)的减法为\(A-B=A+(-B)=(a_{ij}-b_{ij})_{m×n}\)．

定义4 矩阵数乘\(kA\)

用一个数\(k\)乘矩阵\(A=(a_{ij})_{m×n}\)的所有元素得到的矩阵\((k\cdot a_{ij})_{m×n}\)称为矩阵的数乘，记为\(kA\)或者\(Ak\)，即\(kA=Ak=(k\cdot a_{ij})_{m×n}\)．

如果\(k，l\)是任意两个数，\(A，B\)是任意两个\(m×n\)矩阵，则矩阵的数乘运算满足：

1. \(k(A+B)=kA+kB\)；
2. \((k+l)A=kA+lA\)；
3. \((kl)A=k(lA)=l(kA)\)；
4. \(1A=A\)；
5. \((-1)A=-A\)；
6. \(0A=O_{m×n}\)．

矩阵的加法和矩阵的数乘统称为矩阵的线性运算。

三、矩阵的乘法

定义5 矩阵乘法\(A_{m×p}B_{p×n}\)

设矩阵\(A=(a_{ij})_{m×p}\)，矩阵\(B=(b_{ij})_{p×n}\)，定义矩阵A与B的乘积是矩阵\(C=(c_{ij})_{m×n}\)，其中矩阵\(C=(c_{ij})\)的第\(i\)行第\(j\)列元素\(c_{ij}\)是矩阵\(A\)的第\(i\)行元素\(a_{i1}，a_{i2}，…，a_{ip}\)与矩阵\(B\)的第\(j\)列相应元素\(b_{1j}，b_{2j}，…，b_{pj}\)的乘积之和，即

\[c_{ij}=\sum_{k=1}^p a_{ik}b_{kj}=a_{i1}b_{1j} + a_{i2}b_{2j} + \cdots + a_{ik}b_{kj} \]

必须注意：只有当第一个矩阵（左边的矩阵）的列数与第二个矩阵（右边的矩阵）的行数相等时，两个矩阵才能相乘．

1 矩阵乘法不满足交换律，即在一般情况下，\(AB≠BA\)；
2 尽管矩阵\(A\)与\(B\)满足\(AB=O\)，但是得不出\(A=O\)或\(B=O\)的结论．

但是，矩阵乘法仍满足下列运算规律（假设运算都是可行的）．

1. 结合律：\((AB)C=A(BC)\)．
2. 矩阵乘法对矩阵加法的分配律：\(A(B+C)=AB+AC，(A+B)C=AC+BC\)．
3. \((kA)B=A(kB)=k(AB)\)．
4. \(E_mA_{m×n}=A_{m×n}E_n=A_{m×n}\)．
5. \(O_{m×s}A_{s×n}=O_{m×n}；A_{m×s}O_{s×n}=O_{m×n}\)

对于方阵有

\[A^k=\underbrace{AA\cdots A}_{k} \]

并且规定：对非零方阵\(A\)，有\(A^0=E\)．
方阵的方幂满足以下运算规律（这里k，l均为非负整数）：

\[A^kA^l=A^{k+l}；(A^k)^l=A^{kl}． \]

四、矩阵的转置

定义6 矩阵转置\(A_{m×n}\)

设\(A=\begin{pmatrix} {a_{11}}&{a_{12}}&{\cdots}&{a_{1n}}\\ {a_{21}}&{a_{22}}&{\cdots}&{a_{2n}}\\ {\vdots}&{\vdots}&{\ddots}&{\vdots}\\ {a_{m1}}&{a_{m2}}&{\cdots}&{a_{mn}}\\ \end{pmatrix}\)，把矩阵\(A\)的行换成同充数的列,得到\(n×m\)矩阵称为矩阵\(A\)的转置矩阵，记为\(A^T\)，即

\[A^T=\begin{pmatrix} {a_{11}}&{a_{21}}&{\cdots}&{a_{m1}}\\ {a_{12}}&{a_{22}}&{\cdots}&{a_{m2}}\\ {\vdots}&{\vdots}&{\ddots}&{\vdots}\\ {a_{1n}}&{a_{2n}}&{\cdots}&{a_{nm}}\\ \end{pmatrix}\]

矩阵的转置满足下面的运算规律(这里\(k\)为常数，\(A\)与\(B\)为同型矩阵)：

1. \((A^T)^T=A\)；
2. \((A+B)^T=A^T+B^T\)；
3. \((AB)^T=B^TA^T\)；
4. \((kA)^T=kA^T\)．

定义7 对称矩阵,反对称矩阵

\(n\)阶方阵\(A\)如果满足\(A^T=A\)，则称\(A\)为对称矩阵，如果满足\(A^T=-A\)，则称\(A\)为反对称矩阵．

第二节 分块矩阵

［课前导读］

当矩阵的行数和列数较高时，为了证明或计算的方便，常把矩阵分成若干小块，把每个小块当作“数”来处理，这便是矩阵的分块．这一节我们将讨论矩阵的分块方式和分块矩阵的计算．在学习这一节之前，需要读者熟练掌握矩阵的线性运算、矩阵乘法和矩阵的转置运算．

一、分块矩阵的概念

对于行数和列数较高的矩阵\(A\)，运算时常用一些横线和竖线将矩阵\(A\)分划成若干个小矩阵，每一个小矩阵称为\(A\)的子块，以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵．

二、分块矩阵的运算

分块矩阵的运算规则与普通矩阵的运算规则相类似，不同的计算方式，分块的原则不同，下面分情况讨论．

（1）分块矩阵加（减）运算：设\(A、B\)都是\(m×n\)矩阵，对两个矩阵的行和列采用相同的分块方式，不妨设

\[A=\begin{pmatrix} {A_{11}}&{A_{12}}&{\cdots}&{A_{1t}}\\ {A_{21}}&{A_{22}}&{\cdots}&{A_{2t}}\\ {\vdots}&{\vdots}&{\ddots}&{\vdots}\\ {A_{s1}}&{A_{s2}}&{\cdots}&{A_{st}}\\ \end{pmatrix},B=\begin{pmatrix} {B_{11}}&{B_{12}}&{\cdots}&{B_{1t}}\\ {B_{21}}&{B_{22}}&{\cdots}&{B_{2t}}\\ {\vdots}&{\vdots}&{\ddots}&{\vdots}\\ {B_{s1}}&{B_{s2}}&{\cdots}&{B_{st}}\\ \end{pmatrix}\]

其中\(A_{ij}\)和\(B_{ij}\)的行数相同、列数相同，则有

\[A+B=\begin{pmatrix} {A_{11}+B_{11}}&{A_{12}+B_{12}}&{\cdots}&{A_{1t}+B_{1t}}\\ {A_{21}+B_{21}}&{A_{22}+B_{22}}&{\cdots}&{A_{2t}+B_{2t}}\\ {\vdots}&{\vdots}&{\ddots}&{\vdots}\\ {A_{s1}+B_{s1}}&{A_{s2}+B_{s2}}&{\cdots}&{A_{st}+B_{st}}\\ \end{pmatrix}\]

（2）分块矩阵的数乘运算：

\[kA=\begin{pmatrix} {kA_{11}}&{kA_{12}}&{\cdots}&{kA_{1t}}\\ {kA_{21}}&{kA_{22}}&{\cdots}&{kA_{2t}}\\ {\vdots}&{\vdots}&{\ddots}&{\vdots}\\ {kA_{s1}}&{kA_{s2}}&{\cdots}&{kA_{st}}\\ \end{pmatrix}\]

（3）分块矩阵乘法：设\(A_{m×s}、B_{s×n}\)，要求矩阵\(A\)的列分块方式与矩阵\(B\)的行分块方式保持一致，而对矩阵A的行分块方式及矩阵B的列分块方式没有任何要求和限制．不妨设

\[A=\begin{pmatrix} {A_{11}}&{A_{12}}&{\cdots}&{A_{1k}}\\ {A_{21}}&{A_{22}}&{\cdots}&{A_{2k}}\\ {\vdots}&{\vdots}&{\ddots}&{\vdots}\\ {A_{t1}}&{A_{t2}}&{\cdots}&{A_{tk}}\\ \end{pmatrix},B=\begin{pmatrix} {B_{11}}&{B_{12}}&{\cdots}&{B_{1u}}\\ {B_{21}}&{B_{22}}&{\cdots}&{B_{2u}}\\ {\vdots}&{\vdots}&{\ddots}&{\vdots}\\ {B_{k1}}&{B_{k2}}&{\cdots}&{B_{ku}}\\ \end{pmatrix}\]

其中\(A_{i1}，A_{i2}，…，A_{ik}\)的列数分别等于\(B_{1j}，B_{2j}，…，B_{kj}\)的行数, 则

\[AB=\begin{pmatrix} {C_{11}}&{C_{12}}&{\cdots}&{C_{1u}}\\ {C_{21}}&{C_{22}}&{\cdots}&{C_{2u}}\\ {\vdots}&{\vdots}&{\ddots}&{\vdots}\\ {C_{t1}}&{C_{t2}}&{\cdots}&{C_{tu}}\\ \end{pmatrix}\]

其中

\[C_{ij}=\sum_{t=1}^k A_{it}B_{tj}=A_{i1}B_{1j} + A_{i2}B_{2j} + \cdots + A_{it}B_{tj} \]

（4）分块矩阵的转置：设\(A=\begin{pmatrix} {A_{11}}&{A_{12}}&{\cdots}&{A_{1k}}\\ {A_{21}}&{A_{22}}&{\cdots}&{A_{2k}}\\ {\vdots}&{\vdots}&{\ddots}&{\vdots}\\ {A_{t1}}&{A_{t2}}&{\cdots}&{A_{tk}}\\ \end{pmatrix}\), 则\(A^T=\begin{pmatrix} {A_{11}}^T&{A_{21}}^T&{\cdots}&{A_{t1}}^T\\ {A_{12}}^T&{A_{22}}^T&{\cdots}&{A_{t2}}^T\\ {\vdots}&{\vdots}&{\ddots}&{\vdots}\\ {A_{1k}}^T&{A_{2k}}^T&{\cdots}&{A_{tk}}^T\\ \end{pmatrix}\)

（5）分块对角阵：设\(A\)是\(n\)阶方阵，若\(A\)的分块矩阵只有在主对角线上有非零子块，且这些非零子块都是方阵，而其余子块都是零矩阵，即

\[A=\begin{pmatrix} {A_{1}}&O&{\cdots}&O\\ O&{A_{2}}&{\cdots}&O\\ {\vdots}&{\vdots}&{\ddots}&{\vdots}\\ O&O&{\cdots}&{A_{t}}\\ \end{pmatrix}\]

其中\(A_i（i=1，2，…，t）\)都是方阵，这样的分块阵称为分块对角阵.

第三节 线性方程组与矩阵的初等变换

［课前导读］
本节通过高斯消元法解线性方程组，引入矩阵的初等行变换，并给出矩阵的初等变换、阶梯形矩阵、行最简形矩阵、矩阵等价等概念．最后，我们利用矩阵的初等行变换来求解线性方程组．在学习本节之前，需要读者回忆消元法解线性方程组的相关知识．当然，正文中会详细给出如何用消元法解线性方程组．

一、矩阵的初等变换

定义1 下面三种变换称为矩阵的初等行变换

（1）交换矩阵的某两行，我们用\(r_i↔r_j\)表示交换矩阵的第\(i,j\)两行；
（2）矩阵的某一行乘以非零数，用\(kr_i\)表示矩阵的第\(i\)行元素乘以非零数\(k\)；
（3）将矩阵的某一行的倍数加到另一行，用\(r_j+kr_i\)表示将矩阵第\(i\)行的\(k\)倍加到第\(j\)行．

将上面定义中的“行”换成“列”（记号由“\(r\)”换成“\(c\)”），就得到了矩阵的初等列变换的定义．

矩阵的初等行变换和初等列变换统称为矩阵的初等变换．

对于一般的矩阵，我们有下面的结论．

定理

1. 任意一个\(m×n\)矩阵总可以经过若干次初等行变换化为行阶梯形矩阵；
2. 任意一个\(m×n\)矩阵总可以经过若干次初等行变换化为行最简形矩阵；
3. 任意一个\(m×n\)矩阵总可以经过若干次初等变换（行变换和列变换）化为它的标准形\(F=\begin{pmatrix} E_r&O\\ O&O \end{pmatrix}\)其中\(r\)为行阶梯形矩阵中非零行的行数．

定义2 矩阵等价

若矩阵\(A\)经过有限次初等行（列）变换化为矩阵\(B\)，则称矩阵\(A\)与矩阵\(B\)行（列）等价；若矩阵\(A\)经过有限次初等变换化为矩阵\(B\)，则称矩阵\(A\)与矩阵\(B\)等价．

我们用\(A\stackrel{r}{\sim}B\)表示矩阵\(A\)与矩阵\(B\)行等价，用\(A\stackrel{c}{\sim}B\)表示矩阵\(A\)与矩阵\(B\)列等价，用\(A\sim B\)表示矩阵\(A\)与矩阵\(B\)等价．注意：矩阵间的行（列）等价以及矩阵间的等价是一个等价关系，即满足

1. 自反性：任意矩阵A与自身等价．
2. 对称性：若矩阵A与矩阵B等价，则矩阵B与矩阵A等价．
3. 传递性：若矩阵A与矩阵B等价，矩阵B与矩阵C等价，则矩阵A与矩阵C等价．

等价关系是数学中一个十分重要的概念．等价的对象具有某种共性，这在以后可以得到具体的体现．

第四节 初等矩阵与矩阵的逆矩阵

［课前导读］
我们知道，在实数的运算中有逆的概念，即如果\(ab=ba=1\)，则有\(b=a^{-1}\)和\(a=b^{-1}\)．本节我们也在矩阵的运算中引入类似的概念，即方阵的逆，并给出逆矩阵的性质和求法．在学习本节前，需要读者熟悉矩阵的初等变换．

一、方阵的逆矩阵

1. 逆矩阵的定义

定义1　设\(A\)为\(n\)阶方阵，如果存在\(n\)阶方阵\(B\)使得

\[\tag{4-1} AB=BA=E \]

其中，\(E\)为\(n\)阶单位方阵，则称矩阵\(A\)是可逆的，矩阵\(B\)称为\(A\)的逆矩阵；否则称\(A\)是不可逆的．

如果矩阵\(A\)可逆，则\(A\)的逆矩阵一定是唯一的．这是因为，若矩阵\(B、C\)都满足

\[AB=BA=E，AC=CA=E \]

由于矩阵乘法满足结合律，于是$$C=CE=C（AB）=（CA）B=EB=B$$

所以\(A\)的逆矩阵一定是唯一的．\(A\)的逆矩阵记为\(A^{-1}\)．

2. 逆矩阵的性质

1. 若\(A\)可逆, 则\(A^{-1}\)也可逆, 并且\((A^{-1})^{-1}=A\);
2. 若矩阵\(A_1,A_s,\cdots,A_s\)可逆, 则它们的乘积\(A_1A_s\cdots A_s\)也可逆, 并且\((A_1A_s\cdots A_s)^{-1}=A_s^{-1}\cdots A_2^{-1}A_1^{-1}\);
3. 若\(A\)可逆, 则\(A^T\)也可逆, 并且\((A^T)^{-1}=(A^{-1})^T\);
4. 若\(A\)可逆并且数\(k\neq0\), 则\(kA\)也可逆, 并且\((kA)^{-1}=k^{-1}A^{-1}\);

二、初等矩阵

定义2　对\(n\)阶单位矩阵\(E\)实施一次初等变换得到的矩阵称为\(n\)阶初等矩阵．由于初等变换有三种，对\(n\)阶单位矩阵\(E\)实施一次初等变换得到的初等矩阵也有三类．

1. 交换单位阵\(E\)的第\(i\)行和第\(j\)行，或交换\(E\)的第\(i\)列和第\(j\)列，得到的初等矩阵记为\(E(i,j)\)，即

\[E(i,j)=\begin{pmatrix} 1\\ &{\ddots}\\ &&0&&1&& _{第i行}\\ &&&{\ddots}\\ &&1&&0&&_{第j行}\\ &&&&&{\ddots}\\ &&&&&&1\\ \end{pmatrix}\]

2. 用非零数\(k\)乘单位阵\(E\)的第\(i\)行或第\(i\)列，得到的初等矩阵记为\(E(i(k))\)，即

\[E(i(k))=\begin{pmatrix} 1\\ &{\ddots}\\ &&1\\ &&&k&&&_{第i行}\\ &&&&1\\ &&&&&{\ddots}\\ &&&&&&1\\ \end{pmatrix}\]

3. 将单位阵\(E\)的第\(i\)行乘以非零数\(k\)加到第\(j\)行(或将单位阵\(E\)的第\(j\)列乘以非零数\(k\)加到第\(i\)列)，得到的初等矩阵记为\(E(i(k), j)\)，即

\[E(i(k),j)=\begin{pmatrix} 1\\ &{\ddots}\\ &&1&&0&& _{第i行}\\ &&&{\ddots}\\ &&k&&1&&_{第j行}\\ &&&&&{\ddots}\\ &&&&&&1\\ \end{pmatrix}\]

关于初等变换与初等矩阵的关系，我们有下面的结论．

命题1 初等矩阵都是可逆的，并且初等矩阵的逆矩阵仍为同一类型的初等矩阵，即

\[E(i,j)^{-1}=E(i,j),E(i(k))^{-1}=E(i(\dfrac1k)),E(i(k),j)^{-1}=E(i(-k),j) \]

证明 直接计算可得

\(E(i,j)E(i,j)=E\)
\(E(i(k))E(i(\dfrac1k))=E(i(\dfrac1k))E(i(k))=E\)
\(E(i(k),j)E(i(-k),j)=E(i(-k),j)E(i(k),j)=E\)

命题2　设\(A\)是一个\(m×n\)矩阵，对\(A\)施行一次初等行变换，相当于在\(A\)的左边乘以相应的\(m\)阶初等矩阵；对\(A\)施行一次初等列变换，相当于在\(A\)的右边乘以相应的\(n\)阶初等矩阵．

三、初等矩阵与逆矩阵的应用

首先，我们利用初等矩阵和初等变换给出一个方阵可逆的判别条件．

定理1　下面命题互相等价：
（1）\(n\)阶方阵\(A\)可逆；
（2）方阵\(A\)行等价于\(n\)阶单位矩阵\(E\)；
（3）方阵\(A\)可表示为一些初等方阵的乘积．

证明　为了证明的方便，我们采取（1）⇒（2）⇒（3）⇒（1）的方式来证明．

（1）⇒（2）:由本章第三节的定理可知，方阵\(A\)经过若干次初等行变换可化为行最简形矩阵\(R\)．再由命题2可知，这相当于存在若干个初等矩阵\(P_1，P_2，…，P_s\)，使得\(P_s…P_2P_1A=R\). 由于初等矩阵都可逆，若\(A\)可逆，则根据逆矩阵的性质知\(P_s…P_2P_1A=R\)可逆，从而行最简形矩阵\(R\)没有全零行，这迫使\(R=E\)，即\(P_s…P_2P_1A=E\)，所以方阵\(A\)行等价于\(n\)阶单位矩阵\(E\).

（2）⇒（3）：若方阵\(A\)行等价于\(n\)阶单位矩阵\(E\)，则存在若干个初等矩阵\(P_1，P_2，…，P_s\)，使得\(P_s…P_2P_1A=E\)．由于初等矩阵都可逆且其逆矩阵仍为初等矩阵，记\(P_1，P_2，…，P_s\)的逆矩阵分别为\(P_1^{-1}，P_2^{-1}，…，P_s^{-1}\), 于是\(P_1^{-1}P_2^{-1}…P_s^{-1}(P_s…P_2P_1A)=P_1^{-1}P_2^{-1}…P_s^{-1}E\), 即\(A=P_1^{-1}P_2^{-1}…P_s^{-1}\)
即也就是说，\(A\)可表示为初等方阵的乘积．

（3）⇒（1）：设方阵\(A=P_1^{-1}P_2^{-1}…P_s^{-1}\)，其中\(P_1^{-1}，P_2^{-1}，…，P_s^{-1}\)均为初等矩阵，由于初等矩阵均可逆，于是它们的乘积\(A=P_1^{-1}P_2^{-1}…P_s^{-1}\)也可逆．

由定理1的证明可知，若\(n\)阶方阵\(A\)可逆，则存在一个可逆阵\(P=P_s…P_2P_1\)，使得\(PA=E\)，于是$$A^{-1}=(P_1P_2^{-1}…P_s)^{-1}=P_s…P_2P_1=P$$

构造一个分块矩阵\((A|E)\),做分块矩阵乘法:

\[P(A|E)=(PA|PE)=(E|P)=(E|A^{-1}) \]

上式等价于对分块矩阵\(（A|E）\)实施了若干次初等行变换，当\(A\)变成\(E\)时，\(E\)就变成了\(A^{-1}\)．所以，定理1给出了判别矩阵\(A\)是否可逆，并在可逆时求\(A^{-1}\)的一种方法：
（1）首先构造分块矩阵\(（A|E）\)；
（2）对矩阵\(（A|E）\)实施初等行变换，将\(（A|E）\)化为行最简形矩阵；
（3）如果\(A\)不能行等价于\(E\)，则矩阵\(A\)不可逆；若\(A\)能行等价于\(E\)，则\(A\)可逆，且\(E\)就行等价于\(A^{-1}\)．