物体坐标系的思考
物体坐标系的思考
0. 引言
对于空间几何，一定需要坐标系吗？一定需要点坐标吗？本人只在初中阶段学过初等解析几何，没有系统学过向量。向量的学习是在与教小孩的过程中逐渐进步的。
从空间上看，可以使用距离和方向描述点之间的关系，使用距离和位置姿态（基底）描述物体之间的关系。点（物体）之间的关系并不依赖于坐标。
向量揭示了物体空间关系的本质。向量反映了具有大小和方向的量，与位置和坐标其实并没有关系。物体的空间关系可以看成一系列向量（长度和方向组成）。
那为什么要用坐标法来表示向量呢？在看清了事物的本质之后，我们需要借助于计算机的算力来进行大规模的2、3维计算。使用坐标表示向量，为我们开启了计算几何的大门。
1. 数学基础
1.1 向量(Vector)
向量指具有大小和方向的量。
1.2 基(Basic,基底)
1.2.1 线性无关
在一个向量空间\(V_n\)中，假设：
\(a_1e_1 + ⋯ + a_ne_n = 0\)
只在 \(a_1 = ⋯ = a_n = 0\) 时成立，那么向量 \(\{e_1, e_2, ..., e_n\}\) 是线性无关的。
如果任何 \(a_i\) 不为零，那么这些向量是线性相关的，其中一个向量是其他向量的组合。
1.2.2 基底
在向量空间\(V_n\)中，任意向量\(P\)都可以由一组\(n\)个线性无关的向量集\(B_n\)组成，这样的向量集\(B_n\)称为基底(基)。其定义如下：
向量空间 \(V_n\) 的基底 \(B_n\) 是一组 \(n\) 个线性无关的向量 \(\{e_1, e_2, ..., e_n\}\)，
对于任何 \(V_n\) 的向量 \(P\)，都存在实数 \(\{a_1, a_2, ..., a_n\}\)，使得
$P = a_1e_1 + ⋯ + a_ne_n $
2. 物体坐标系（2、3维）
2.1 基本定义
假设在统一坐标系下，有\(n\)个物体坐标系：
- 设\(N_n\)为物体坐标系，它包含了原点\(o_n\)及基底 \(M_n\)。对于\(N_n\)中的向径，可以表示为\(\vec{p_n}\)。
- 在两物体坐标系原点之间，\(o_1 \to o_2 的向量为\overrightarrow{o_1o_2}\)
一般的, 点在物体坐标系\(N_n\)下的矩阵表示法为：
\(\overrightarrow{p_n} =\overrightarrow{v_n}M_n\)
其中：
- \(v_n\)是点在物体坐标系的向径
- \(M_n\)是物体坐标系在统一坐标系下的基
2.2 物体空间向量基本式
对于空间中同一点\(p\)，在 \(N1\) 和 \(N2\) 中的向径，根据向量的基本性质有如下关系：
\(\overrightarrow{p_1}=\overrightarrow{o_1o_2}+\overrightarrow{p_2}\) （式1）
或者
\(\overrightarrow{p_2}=\overrightarrow{o_2o_1}+\overrightarrow{p_1}\) （式2）
其中:
- \(\overrightarrow{p_1}\) 为\(o_1 \to p\)的向量
- \(\overrightarrow{o_1o_2}\) 为\(o_1 \to o_2的向量\)
- \(\overrightarrow{p_2}\) 为\(o_2 \to p\)的向量
- \(\overrightarrow{o_2o_1}\) 为\(o_2 \to o_1 的向量\)
2.3 物体空间向量基本式在物体坐标系转换中的应用
由于 式1 与 式2 形式相同，下面只对 式1 进行进一步推导:
\(\overrightarrow{v_1}M_1 = \overrightarrow{o_1o_2} + \overrightarrow{v_2}M_2\) （式3）
\(\Longrightarrow \overrightarrow{v_1}M_1M_1^{-1} = (\overrightarrow{o_1o_2} + \overrightarrow{v_2}M_2)M_1^{-1}\)
\(\Longrightarrow \overrightarrow{v_1} = \overrightarrow{o_1o_2}M_1^{-1} + \overrightarrow{v_2}M_2M_1^{-1}\) （式4）
同理，
\(\overrightarrow{v_2} = \overrightarrow{o_2o_1}M_2^{-1} + \overrightarrow{v_1}M_1M_2^{-1}\) （式5）
式4（式5）描述了点在不同坐标系\(N_1\)，\(N_2\)中坐标的转换关系。
