数学基础 - 向量

1. 向量(Vector)

向量指具有大小和方向的量。

2 基(Basic,基底)

2.1 线性无关

在一个向量空间\(V_n\)中，假设：

\(a_1e_1 + ⋯ + a_ne_n = 0\)　　(式1)

只在 \(a_1 = ⋯ = a_n = 0\) 时成立，那么向量 \(\{e_1, e_2, ..., e_n\}\) 是线性无关的。
如果任何 \(a_i\) 不为零，那么这些向量是线性相关的，其中一个向量是其他向量的组合。

2.2 基底

在向量空间\(V_n\)中，任意向量\(P\)都可以由一组\(n\)个线性无关的向量集\(B_n\)组成，这样的向量集\(B_n\)称为基底(基)。其定义如下：
向量空间 \(V_n\) 的基底 \(B_n\) 是一组 \(n\) 个线性无关的向量 \(\{e_1, e_2, ..., e_n\}\)，
对于任何 \(V_n\) 的向量 \(P\)，都存在实数 \(\{a_1, a_2, ..., a_n\}\)，使得

$P = a_1e_1 + ⋯ + a_ne_n $　　(式２)