一道算法题

 

题目:

找到满足条件的数组
给定函数d(n)=n+n的各位之和，n为正整数，如d(78)=78+7+8=93。这样这个函数可以看成一个生成器，如93可以看成由78生成。
定义数A：数A找不到一个数B可以由d(B)=A，即A不能由其他数生成。现在要写程序，找出1至10000里的所有符合数A定义的数。
回答：
申请一个长度为10000的bool数组，每个元素代表对应的值是否可以有其它数生成。开始时将数组中的值都初始化为false。
由于大于10000的数的生成数必定大于10000，所以我们只需遍历1到10000中的数，计算生成数，并将bool数组中对应的值设置为true，表示这个数可以有其它数生成。
最后bool数组中值为false的位置对应的整数就是不能由其它数生成的。

 

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我尝试用解方程的思路来看一下:

先把问题的范围缩小到: 找出1至1000里的所有符合数A定义的数, (为了便于表达, 定义数A构成一个集合SA, SA的补集为RA)

 

对于小于1000的正整数n(n的各位用ni表示), 有: n =  n0 + n1 * 10 + n2 * 10^2 = ∑ni * 10^i ;  i∈{0~2}, ni∈{0~9}

 

考察函数 y ≡ f(n, x) = n2 * x^2 + n1 * x + n0; (x = 10, 因为是十进制数)

其中, 向量n=(n2, n1, n0), ni∈{0~9}, i∈{0~2};

上述问题里的d(n) = n + ∑ni = f(n, x)+ ∑ni; (x = 10)

对于1至1000里的正整数N, 如果存在另一个正整数n, 使得d(n) = N, 那么N∈RA; 反之, 如果找不到另一个正整数n, 使得d(n) = N, 那么N∉SA. .

考察方程(1): d(n) - N = 0; (即: n2 * x^2 + n1 * x + n0 + (n2 + n1 +n0) - N = 0) ..............(1)

如果把方程(1)看做是关于x的方程, 那么问题变为: 当ni和N取哪些正整数时, 方程(1)至少有一个值为10的根.

 

 根据二次方程(A*x^2 + B*x +C = 0)求根公式:

x0 = (-b + sqrt(Δ)/(2a),  x1 = (-b - sqrt(Δ)/(2a);

Δ = B^2 - 4AC;

A = n2;

B = n1;

C = n0 + (n2 + n1 +n0) - N;

当x = 10时, 得到N, ni的关系式:

N = 101*n2 + 11*n1 + 2*n0; ...........................(2)

这与1~1000时找N的方法是一致的.

 

 

现在考察问题范围扩大至1~10000, 这时就要涉及三次方程求根的方法了. 看看能得到什么结果

参考盛金公式:

一元三次方程aX³+bX²+cX+d=0，（a,b,c,d∈R，且a≠0）

重根判别式

总判别式Δ=B²－4AC

盛金判别法:

1.当A=B=0时，方程有一个三重实根。

2,当Δ=B²－4AC>0时，方程有一个实根和一对共轭虚根。

3,当Δ=B²－4AC=0时，方程有三个实根，其中有一个二重根。

4,当Δ=B²－4AC<0时，方程有三个不相等的实根。

 

考察函数 y ≡ f(n, x) = n3 * x^3 + n2 * x^2 + n1 * x + n0; (x = 10, 因为是十进制数)

考察方程(3): d(n) - N = 0; (即: n3 * x^3 + n2 * x^2 + n1 * x + n0 + (n3 + n2 + n1 +n0) - N = 0) ..............(3)

由盛金公式得:

a = n3;       b = n2;        c = n1;        d = n0 + (n3 + n2 + n1 +n0) - N = (n3 +n2 +n1 +2*n0 -N);

A = b^2 - 3ac = n2^2 - 3*n3*n1;

B = bc - 9ad = n2*n1 - 9* n3*(n3 + n2 + n1 +2*n0 - N);

C = c^2 - 3bd = n1^2 - 3* n2* (n3 + n2 + n1 +2*n0 - N);

Δ = B^2 - 4AC;

盛金判别法:

1.当A=B=0时，方程有一个三重实根。

 

 

 

令x1 = x2 = x3 = 10, 得:

 

 

30a +b = 0;......(1.1)
10b +c = 0;......(1.2)
10c +3d = 0;......(1.3)
同时, A=0, B=0;得:
b^2 - 3ac = 0;......(1.4)
bc - 9ad = 0;......(1.5)
连立方程组得:
N = 2*n0 + 1271*n3;
考虑到a, b,c都是正整数, 实际上可从(1.1), (1.2), (1.3) 得出a=b=c=0, 这和a≠0的假设矛盾, 所以这种情况下没有我们想要的数.

 

 

3.当Δ=B²－4AC=0时，方程有三个实根，其中有一个二重根。

......(3.1)

......(3.2)

其中

。

由(3.1)得:N = n2^3/(9*n3^2) - 4/9 * n2*n1/n3 + n3 +n2 - 7/3*n1 +2*n0 +10/9* n2^2/n3;

由(3.2)得: N = -(n3 + n2 + n1 + 2n0) + 20 *n2^2/(9*n3) - 20/3*n1 + 1/9* n2*n1/n3;

(推导到这里已经变得很恶心了啊.)

注意到, 如果令每一个加和项都为整数的话, 须满足: n1 = 3 * i; n2 = 3* n3 *j; (i, j为正整数),

同时还要满足N>0, 即使这样, 得到的也只是答案的一个子集而以.

 

2.当Δ=B²－4AC>0时，方程有一个实根和一对共轭虚根。

4.当Δ=B²－4AC<0时，方程有三个不相等的实根。

至于2和4的解里面牵扯到sqrt, arccos等函数, 在这些情况下要考虑整数解的话.........我还是决定放弃了:)

 哎, 结果不就是个 N = 1001*n3 + 101*n2 + 11*n1 + 2*n0嘛; 看来用解方程的方法还是绕远了啊,