P3768 简单的数学题

学杜教筛时做的模版题。

简单来说，题目让求：

$$\left(\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}ij\gcd(i,j) \right) \bmod p$$

化简一下式子，

$$\begin{aligned} & \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}ij\gcd(i,j)\\ =& \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}ij\sum_{d|i,d|j}\varphi(d) \\ =& \sum_{d=1}^{n} d^2\varphi(d) \sum_{i=1}^{\lfloor \frac{n}{d} \rfloor} \sum_{j=1}^{\lfloor \frac{n}{d} \rfloor} ij \\ =& \sum_{d=1}^{n} d^2\varphi(d) \left(\sum_{i=1}^{\lfloor \frac{n}{d} \rfloor} i \right)^2 \\ =& \sum_{d=1}^{n} d^2\varphi(d) \sum_{i=1}^{\lfloor \frac{n}{d} \rfloor} i^3 \end{aligned}$$

后面可以数论分块，考虑如何计算前面 $d^2\varphi(d)$ 的系数的前缀和。显然是个积性函数，设 $f(n) = n^2 \varphi(n) = \operatorname{id}^2(n)\varphi(n)$，构造 $g(n)=\operatorname{id}^2(n)$，$h(n)=\operatorname{id}^3(n)$，显然 $h = f * g$。

而 $g$ 和 $h$ 的前缀和就分别为 $2$ 次和 $3$ 次的自然数幂和，可以 $O(1)$ 计算。于是可以使用杜教筛求出 $f$ 的前缀和。

数论分块套杜教筛的复杂度仍为 $O(n^\frac{2}{3})$，证明见这里。可以通过 $n = 10^{10}$ 的全部数据。