给出一个数组A，找出一对 (i, j)使得A[i] <= A[j] (i < j)并且j-i最大

题目：给出一个数组A，找出一对 (i, j)使得A[i] <= A[j] (i <= j)并且j-i最大 ，若有多个这样的位置对，返回i最小的那一对。

最直接的想法就是对于每一个 i 从数组最尾端开始向前找到第一个大于等于 A[i] 的位置 j ，时间复杂度O(n^2)。

1.    pair<int, int> find(const vector<int> &A)  
2.    {  
3.        int n = A.size();  
4.        if(n == 0)  
5.            throw new invalid_argument("Array's size can't be 0!");  
6.      
7.        int target_i = 0, target_j = 0;  
8.        int max_len = 0;  
9.        for(int i = 0; i < n; ++i)  
10.        {  
11.            int j;  
12.            for(j = n-1; j >= i; --j)  
13.                if(A[j] >= A[i])  
14.                    break;  
15.            if(j-i+1 > max_len)  
16.            {  
17.                target_i = i;  
18.                target_j = j;  
19.                max_len = j-i+1;  
20.            }  
21.        }  
22.      
23.        return make_pair<int, int>(target_i, target_j);  
24.    }  

我们对上述算法稍作优化。当i=0时，我们假设找到的大于A[i]的最右位置是j0，那么对于i=1时，我们根本就不需要考虑小于j0的位置，因为它们的区间长度都小于j0+1，不可能成为最优解。

1.    pair<int, int> find(const vector<int> &A)  
2.    {  
3.        int n = A.size();  
4.        if(n == 0)  
5.            throw new invalid_argument("Array's size can't be 0!");  
6.      
7.        int target_i = 0, target_j = 0;  
8.        int max_len = 0;  
9.        for(int i = 0; i < n; ++i)  
10.        {  
11.            int j;  
12.            for(j = n-1; j > target_j; --j) // 此处只需检查到target_j  
13.                if(A[j] >= A[i])  
14.                    break;  
15.            if(j-i+1 > max_len)  
16.            {  
17.                target_i = i;  
18.                target_j = j;  
19.                max_len = j-i+1;  
20.            }  
21.        }  
22.      
23.        return make_pair<int, int>(target_i, target_j);  
24.    }  

但时间复杂度仍然是O(n^2)的。我们可以继续接着上面的思路优化。其实对于位置 i 求最后一个大于等于它的位置，不需要每次都从数组尾部向前找，我们可以通过改进这个地方将时间复杂度变为O(n)。

过程是这样的，对于 i ，我们先找到 i 及其右端的最大元素的位置 j ，检查是否比当前记录的最优解更优，更新。然后考虑 j+1及其右端的最大元素位置是否大于等于A[i]，若是，令 j 等于该位置，重复如上过程，若否，那么从位置i+1重新开始，但j仍然从当前位置考虑即可，原因上面已说明。这样时间复杂度就成O(n)的了。

具体请参考代码