2024初秋集训——提高组 #29

C. 卡片放置

题目描述

有一些卡片，写着两个数字 \(A_i,B_i\)。你要将这些这些卡片排列，其对于你的分数为 \(\max(A_i,B_i)\cdot i\)，对于对手的分数为 \(\min(A_i,B_i)\cdot (N-i+1)\)。求令你的分数减对方分数的最大的方案数。

思路

我们来拆式子，这里令 \(A_i\ge B_i\)：

\[\begin{array}{l} &A_i\cdot i-B_i\cdot (N-i+1)\\ =&A_i\cdot i-B_i\cdot N+B_i\cdot i-B_i\\ =&(A_i+B_i)\cdot i-(N+1)\cdot B_i \end{array} \]

后一项为定值，不看。很明显只有在 \(A_i+B_i\) 升序排列才最优，只有相同元素之间可以排列。预处理阶乘即可。

空间复杂度 \(O(N)\)，时间复杂度 \(O(N\log N)\)。

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int MAXN = 100001, MOD = int(1e9) + 7;

int n, a[MAXN], f[MAXN], ans = 1;

int main() {
  ios::sync_with_stdio(false), cin.tie(0), cout.tie(0);
  cin >> n;
  f[0] = 1;
  for(int i = 1; i <= n; ++i) {
    cin >> a[i];
    f[i] = 1ll * f[i - 1] * i % MOD;
  }
  for(int i = 1, x; i <= n; ++i) {
    cin >> x;
    a[i] += x;
  }
  sort(a + 1, a + n + 1);
  for(int i = 1, j = 1; i <= n; i = j) {
    for(; j <= n && a[i] == a[j]; ++j) {
    }
    ans = 1ll * ans * f[j - i] % MOD;
  }
  cout << ans;
  return 0;
}

D. 合理架构

题目描述

有一个 \(N\) 个结点，以 \(1\) 为根的树，每个结点都有两个值 \(A_i,B_i\)。你要判断是否符合以下条件：

• 对于所有 \(u,v\) 使得 \(u\) 是 \(v\) 的祖先，要满足 \(A_u\ge A_v\and B_u\ge B_v\)。
• 对于所有 \(u\) 不是 \(v\) 的祖先，要满足 \(A_u<A_v\or B_u<B_v\)。

思路

条件 1 显然判断一下父子之间的 \(A,B\) 即可。

对于条件 2，我们求每个点 \(u\) 有多少个点 \(v\) 不满足条件 2。这个就是离线二维数点。

可以发现，只有 \(u\) 的祖先会不满足条件 2。所以只需判断不满足数量是否等于 \(dep_u\) 即可。

空间复杂度 \(O(N)\)，时间复杂度 \(O(N\log N)\)。

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int MAXN = 200001, INF = int(1e9) + 1;

struct Tree_Array {
  int n, tr[MAXN];
  void Clear(int m) {
    n = m;
    fill(tr + 1, tr + n + 1, 0);
  }
  void update(int p, int x) {
    for(; p <= n; tr[p] += x, p += (p & -p)) {
    }
  }
  int Getsum(int p) {
    int sum = 0;
    for(; p; sum += tr[p], p -= (p & -p)) {
    }
    return sum;
  }
}tr;

int t, n, a[MAXN], b[MAXN], dep[MAXN], ans[MAXN];
vector<tuple<int, int, int, int>> ve[MAXN];
vector<int> e[MAXN], A, B, vec[MAXN];

bool dfs(int u, int fa) {
  if(fa && (a[u] > a[fa] || b[u] > b[fa])) {
    return 0;
  }
  dep[u] = dep[fa] + 1;
  for(int v : e[u]) {
    if(v != fa && !dfs(v, u)) {
      return 0;
    }
  }
  return 1;
}

void Solve() {
  cin >> n;
  A.clear(), B.clear();
  for(int i = 0; i <= n; ++i) {
    ve[i].clear(), vec[i].clear();
  }
  for(int i = 1; i <= n; ++i) {
    cin >> a[i] >> b[i];
    e[i].clear();
    A.emplace_back(a[i]);
    B.emplace_back(b[i]);
    ans[i] = 0;
  }
  sort(A.begin(), A.end()), A.erase(unique(A.begin(), A.end()), A.end());
  sort(B.begin(), B.end()), B.erase(unique(B.begin(), B.end()), B.end());
  for(int i = 1; i <= n; ++i) {
    a[i] = lower_bound(A.begin(), A.end(), a[i]) - A.begin() + 1;
    b[i] = lower_bound(B.begin(), B.end(), b[i]) - B.begin() + 1;
    ve[a[i] - 1].emplace_back(b[i], n, -1, i);
    ve[n].emplace_back(b[i], n, 1, i);
    vec[a[i]].emplace_back(b[i]);
  }
  for(int i = 1, u, v; i < n; ++i) {
    cin >> u >> v;
    e[u].emplace_back(v);
    e[v].emplace_back(u);
  }
  if(!dfs(1, 0)) {
    cout << "NO\n";
    return;
  }
  tr.Clear(n);
  for(int i = 1; i <= n; ++i) {
    for(int x : vec[i]) {
      tr.update(x, 1);
    }
    for(auto [l, r, x, id] : ve[i]) {
      ans[id] += (tr.Getsum(r) - tr.Getsum(l - 1)) * x;
    }
  }
  for(int i = 1; i <= n; ++i) {
    if(ans[i] != dep[i]) {
      cout << "NO\n";
      return;
    }
  }
  cout << "YES\n";
}

int main() {
  ios::sync_with_stdio(false), cin.tie(0), cout.tie(0);
  for(cin >> t; t--; Solve()) {
  }
  return 0;
}