20240912 随机训练

Yukicoder 2867

题目描述

求有多少个正整数 $x$ 满足以下条件：

• $x\le N$。
• $x$ 的十进制表示下不存在连续的 $404$。

思路

由于 $N$ 非常大，所以考虑数位 dp。

令 $d{p}_{i,0/1,0/1/2}$ 表示当前考虑到从高到低的第 $i$ 位，是否有最高位限制，末尾存在 $\mathrm{没}\mathrm{有}/4/40$ 的方案数。

按此状态转移即可。（转移太复杂了，此处省略）

时空复杂度均为 $O({\log }_{10}N)$。

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int MAXN = 1000005, MOD = 998244353;

int n, f[MAXN][2][3], ans;
string s;

int main() {
  ios::sync_with_stdio(false), cin.tie(0), cout.tie(0);
  cin >> s;
  n = s.size(), s = ' ' + s;
  f[0][1][0] = 1;
  for(int i = 0; i < n; ++i) {
    for(bool lim : {0, 1}) {
      for(int op : {0, 1, 2}) {
        int r = s[i + 1] - '0';
        for(int num = 0; num <= (lim ? r : 9); ++num) {
          if(!(op == 2 && num == 4)) {
            f[i + 1][lim & (num == r)][(num == 4 ? 1 : (op == 1 && num == 0 ? 2 : 0))] = (f[i + 1][lim & (num == r)][(num == 4 ? 1 : (op == 1 && num == 0 ? 2 : 0))] + f[i][lim][op]) % MOD;
          }
        }
      }
    }
  }
  for(bool lim : {0, 1}) {
    for(int op : {0, 1, 2}) {
      ans = (ans + f[n][lim][op]) % MOD;
    }
  }
  cout << (ans - 1 + MOD) % MOD;
  return 0;
}

Yukicoder 2869

题目描述

你有 $N$ 个背包，第 $i$ 个背包的承重量为 $e_i$。你还有 $M$ 个物品，第 $i$ 个价值为 $v_i$，重量为 $w_i$。

你可以往背包里放物品，使得这些物品的重量之和 $\le e_i$。

求最大的放入的物品价值之和，并给出方案。

思路

观察到 $M$ 很小，所以考虑状压。

令 $d{p}_{i,S}$ 表示已经装完了前 $i$ 个背包，还剩物品集合 $S$ 没有装。

我们可以预处理 $V_S,W_S$ 表示物品集合 $S$ 的价值之和，重量之和。

然后转移时就枚举 $S$ 的子集 $S^{\prime }$，如果 $W_{S^{\prime }}\le e_{i+1}$，那么就可以装，否则不行。

由于我们每次刚好枚举 $S$ 的子集，所以 dp 的时间复杂度为 $O(N\sum _{i=0}^M{C}_M^i\cdot 2^i)=O(N{3}^M)$。

空间复杂度 $O(N{2}^M)$，时间复杂度 $O(N{3}^M)$。

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
using ll = long long;

const int MAXN = 17;
const ll INF = (ll)(1e18);

int n, m, e[MAXN], v[MAXN], w[MAXN], f[MAXN][1 << 16], ans, pos;
ll V[1 << 16], W[1 << 16], dp[MAXN][1 << 16];

void Print(int x, int y) {
  if(!x) {
    return;
  }
  Print(x - 1, y ^ f[x][y]);
  cout << __builtin_popcount(f[x][y]) << " ";
  for(int i = 1; i <= m; ++i) {
    if((f[x][y] >> (i - 1)) & 1) {
      cout << i << " ";
    }
  }
  cout << "\n";
}

int main() {
  ios::sync_with_stdio(false), cin.tie(0), cout.tie(0);
  cin >> n >> m;
  for(int i = 1; i <= n; ++i) {
    cin >> e[i];
  }
  for(int i = 1; i <= m; ++i) {
    cin >> v[i] >> w[i];
  }
  for(int i = 0; i < (1 << m); ++i) {
    for(int j = 1; j <= m; ++j) {
      V[i] += ((i >> (j - 1)) & 1) * v[j];
      W[i] += ((i >> (j - 1)) & 1) * w[j];
    }
  }
  for(int i = 0; i <= n; ++i) {
    for(int j = 0; j < (1 << m); ++j) {
      dp[i][j] = -INF;
    }
  }
  dp[0][0] = 0;
  for(int i = 1; i <= n; ++i) {
    for(int j = 0; j < (1 << m); ++j) {
      for(int k = j; k >= 1; k = (k - 1) & j) {
        if(W[k] <= e[i] && dp[i][j] < dp[i - 1][j ^ k] + V[k]) {
          dp[i][j] = dp[i - 1][j ^ k] + V[k];
          f[i][j] = k;
        }
      }
      int k = 0;
      if(W[k] <= e[i] && dp[i][j] < dp[i - 1][j ^ k] + V[k]) {
        dp[i][j] = dp[i - 1][j ^ k] + V[k];
        f[i][j] = k;
      }
    }
  }
  for(int i = 0; i < (1 << m); ++i) {
    if(dp[n][i] > ans) {
      ans = dp[n][i], pos = i;
    }
  }
  cout << ans << "\n";
  Print(n, pos);
  return 0;
}