20240913 随机训练

GYM 105293 C

题目描述

有 $N$ 个怪物排成一排，第 $i$ 个怪物的血量为 $h_i$。当一个怪物的血量 $h_i\le 0$ 时，则它死亡。

你可以进行以下操作：

• 选择一个正整数 $x$。
• 找到第一个 $h_i\ge x$ 的 $i$，并令 $h_i\leftarrow h_i-x$。
• 如果该次操作没有影响到任何怪物，或有怪物死亡，则游戏结束。

求在在游戏结束前能做的最多操作。

思路

我们考虑尽量让前面的怪物血量降至 $1$，接着去令后面的怪物血量降至 $1$。

在打后面的怪物时，为了不打中前面的，所以必须保证 $x>h_i$。

假设现在最少能打 $x$，那么很明显最多能打 $\lceil \frac{h_i}{x}\rceil -1$ 次。

时空复杂度均为 $O(N)$。

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
using ll = long long;

const int MAXN = 300001;

int t, n, a[MAXN], Max = 1;
ll ans;

void Solve() {
  cin >> n;
  ans = 0, Max = 1;
  for(int i = 1; i <= n; ++i) {
    cin >> a[i];
  }
  for(int i = 1; i <= n; ++i) {
    if(Max < a[i]) {
      ans += (a[i] + Max - 1) / Max - 1, a[i] = 1;
    }
    Max = max(Max, a[i] + 1);
  }
  cout << ans + 1 << "\n";
}

int main() {
  ios::sync_with_stdio(false), cin.tie(0), cout.tie(0);
  for(cin >> t; t--; Solve()) {
  }
  return 0;
}

GYM 105293 D

题目描述

给定一个集合 $S=\{1,2,\dots ,N\}$，你可以对其进行以下操作恰好 $N-1$ 次：

• 选择两个 $S$ 中的数 $x,y$，从 $S$ 中删除他们，并插入 $x-y$。

求是否能有一种方法使得最终 $S=\{m\}$。如果有，则构造一种方案。

思路

我们先证明，假设我们已经把 $S$ 分成了两个集合 $A,B$，且 $\sum _{x\in A}x-\sum _{x\in B}x=m$，且 $A,B\ne \varnothing$，那么一定存在一种方案符合要求。具体如下：

• 首先我们令 $B_1$ 减去 $A_2,\dots ,A_{|A|}$。
• 接着我们令 $A_1$ 减去 $B_1,B_2,\dots ,B_{|B|}$。

这样最终的值为 $A_1-(B_1-A_2-\cdots -A_{|A|})-B_2-\cdots -B_{|B|}=\sum _{x\in A}x-\sum _{x\in B}x=m$，符合要求。

又因为我们能凑出 $1+2+\cdots +N-\sum 2x$，所以 $m$ 的奇偶性必须与 $1+2+\cdots +N$ 相同，并且 $m\ne 1+2+\cdots +N\mathrm{或}-1-2-\cdots -N$。

如果满足上述条件，那么我们贪心地求 $A,B$。先令 $S=1+2+\cdots +N$，接着倒着枚举 $1$ 到 $N$。只要 $S-x\ge m$ 就令 $x\in B$。否则令 $x\in A$。

最后使用上述方法构造即可。

时空复杂度均为 $O(N)$。

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
using ll = long long;

int t, n;
ll m, sum;
vector<ll> a, b;

void Solve() {
  cin >> n >> m;
  if(1ll * (1 + n) * n / 2 % 2 != (m % 2 + 2) % 2 || m == 1ll * (1 + n) * n / 2 || m == -1ll * (1 + n) * n / 2) {
    cout << "NO\n";
    return;
  }
  cout << "YES\n";
  sum = -1ll * (1 + n) * n / 2, a.clear(), b.clear();
  for(int i = n; i >= 1; --i) {
    if(sum + 2ll * i <= m) {
      sum += 2 * i, a.emplace_back(i);
    }else {
      b.emplace_back(i);
    }
  }
  for(int i = 1; i < int(a.size()); ++i) {
    cout << b[0] << " " << a[i] << "\n";
    b[0] -= a[i];
  }
  for(int i = 0; i < int(b.size()); ++i) {
    cout << a[0] << " " << b[i] << "\n";
    a[0] -= b[i];
  }
}

int main() {
  ios::sync_with_stdio(false), cin.tie(0), cout.tie(0);
  for(cin >> t; t--; Solve()) {
  }
  return 0;
}