CF 1839 D

题目描述

给定 $N$ 个不同颜色的小球。你可以进行以下操作：

• 插入一个颜色为 $0$ 的小球，此操作最多执行 $k$ 次。
• 选择一个非零球，使得该球与至少一个 $0$ 小球相邻。并把该小球移动到任意位置。这样会花费 $1$ 的代价。

对于每个 $1\le k\le N$ 求出将序列变成一个去除 $0$ 后升序的序列所需最小代价。

思路

定义 $d{p}_{i,j}$ 表示把 $[1,i]$ 排序，使用 $j$ 个 $0$ 小球所需的最小代价。

如果 $a_i>a_{i-1}$，那么我们有转移 $d{p}_{i,j}\leftarrow d{p}_{i-1,j}$。

否则，对于所有 $0\le k<i-1\mathrm{且}{a}_k<a_i$，那么我们有 $d{p}_{i,j}\leftarrow d{p}_{k,j-1}+i-k-1$，因为此时使用了一个 $0$ 球，并且除端点外区间中每个点都需要移动一次。

空间复杂度 $O(N^2)$，时间复杂度 $O(N^3)$。

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int MAXN = 505, INF = MAXN;

int t, n, a[MAXN], dp[MAXN][MAXN], ans;

void Solve() {
  cin >> n;
  for(int i = 1; i <= n; ++i) {
    cin >> a[i];
  }
  for(int i = 0; i <= n + 1; ++i) {
    for(int j = 0; j <= n; ++j) {
      dp[i][j] = INF;
    }
  }
  dp[0][0] = 0, a[n + 1] = n + 1;
  for(int i = 1; i <= n + 1; ++i) {
    for(int j = 0; j <= n; ++j) {
      if(a[i] > a[i - 1]) {
        dp[i][j] = dp[i - 1][j];
      }
      if(j) {
        for(int k = 0; k < i - 1; ++k) {
          if(a[k] < a[i]) {
            dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[k][j - 1] + i - k - 1);
          }
        }
      }
    }
  }
  ans = dp[n + 1][0];
  for(int i = 1; i <= n; ++i) {
    ans = min(ans, dp[n + 1][i]);
    cout << ans << " \n"[i == n];
  }
}

int main() {
  ios::sync_with_stdio(false), cin.tie(0), cout.tie(0);
  for(cin >> t; t--; Solve()) {
  }
  return 0;
}