概率期望

简介

样本空间：所有的可能组成的集合。

随机变量：就是一个在样本空间中的随机的变量。

概率：一种情况的方案数除以总方案数。一个随机变量 \(X\) 的概率写作 \(P(X)\)。

期望：所有情况的平均值。一个随机变量 \(X\) 的期望写作 \(E(X)\)。

比如投一个硬币两次，那么它的样本空间就为 \(\{正正,正反,反正,反反 \}\)，令随机变量 \(X\) 的值表示投出正面的次数，则 \(X=0,1,2\)，且 \(P(X=0)=\frac{1}{4},P(X=1)=\frac{1}{2},P(X=2)=\frac{1}{4},E(X)=\sum \limits P(X)\cdot X=0\cdot \frac{1}{4}+1\cdot \frac{1}{2} +2\cdot \frac{1}{4}=1\)。

不过期望还有另一种思考方式。还是考虑投一个硬币两次，第一次投硬币的期望就为 \(0 \cdot \frac{1}{2} + 1\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{2}\)，而第二次的期望也是一样的，所以最终的期望就为 \(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} =1\)。

所以我们就得到了期望的线性性 \(E(X+Y)=E(X)+E(Y)\)。

重复使用这个式子就可以得到 \(E(aX + bY)=E(aX)+E(bY)\)。