树状数组

前置知识

令 \(\operatorname{lowbit}(x)\) 表示 \(x\) 在二进制下最后一个 \(1\) 的位权（例如 \(\operatorname{lowbit}(6)=\operatorname{lowbit}(110_2)=2\)），那我们该怎么计算呢？

注意：\(\operatorname{lowbit}(x)\) 并不是指位数 \(k\)，而是位权 \(2^k\)。

首先我们得知道计算机内部是如何存储数字的（这里以八位二进制为例）。

位号	\(\color{red}7\)	\(6\)	\(5\)	\(4\)	\(3\)	\(2\)	\(1\)	\(0\)
位权	\(\color{red} -2^7\)	\(2^6\)	\(2^5\)	\(2^4\)	\(2^3\)	\(2^2\)	\(2^1\)	\(2^0\)

注意在这里最高位上的位权是负的。

举个例子：\(-20\) 在计算机中是 \(11110110_2\)。

可以发现，任何一个数 \(x\) 和 \(-x\) 在计算机中的值作位与运算刚好等于 \(\operatorname{lowbit}(x)\)。

可以使用构造证明。因为 \(x+(-x)=0\)，也就是让他们刚好进位到最高位，再进位到前面不存在的那位，最终才会得到 \(0\)，也就是说，\(-x\) 的第 \(i\) 位 \(=(x\) 的第 \(i\) 位 \(+\) 上一位的进位 \() \bmod 2\)，所以只有 \(\operatorname{lowbit} (x)\) 那一位上 \(x\) 和 \(-x\) 都为一，因为在 \(\operatorname{lowbit} (x)\) 的那一位之前都没有进位。

代码

int lowbit(int x) {
  return x & -x;
}

树状数组

简介

树状数组是一种可以 \(O(N)\) 建树，\(O(\log N)\) 单点修改前缀查询的数据结构，但是由于只能查询前缀，所以要维护的信息必须有逆运算并且满足结合律。树状数组能做的线段树都能做，但线段树能做的树状数组不一定能做，不过树状数组相对来说码量较少，常数也更小。

在树状数组中，每个节点都代表一个区间，节点 \(i\) 对应的区间为 \([i-\operatorname{lowbit} (i)+1,i]\)，树状数组可以将一段前缀分解成不超过 \(\log N\) 段来求解。

例如当 \(N=8,A=\{3,1,4,1,5,9,2,6\}\) 时树状数组如下：

每个节点都代表一个区间，其中最下面一排为 \(A\)，红色为和，绿色为管辖区间，黑色为编号。

建树

首先的问题就是：\(i\) 的父亲（即最小的一个不为 \(i\) 的将 \(i\) 包含的节点）到底是多少？

先证明一些性质。

令 \(l(x)=x-\operatorname{lowbit}(x)+1\)，即 \(x\) 的左端点，\(c(x)=[l(x),x]\)，即 \(x\) 对应的区间。

性质一

证：对于 \(x \le y\)，要么有 \(c(x)\) 和 \(c(y)\) 不交，要么有 \(c(x)\) 包含于 \(c(y)\)。

假设 \(x\) 和 \(y\) 相交，则有 \(l(y) \le x \le y\)。

设 \(y=s \cdot 2^{k+1} + 2^k\)，则 \(l(y)=s \cdot 2^{k+1}+1\)。

\(\therefore x\) 可以表示为 \(s \cdot 2^{k+1}+b\)，其中 \(1 \le b \le 2^k\)。

\(\therefore \operatorname{lowbit} (x)=\operatorname{lowbit} (b)\)。

又 \(\because b-\operatorname{lowbit}(b) \ge 0\)。

\(\therefore l(x)=x-\operatorname{lowbit}(x)+1=s \cdot 2^{k+1}+b-\operatorname{lowbit}(b)+1 \ge s \cdot 2^{k+1}+1=l(y)\)，即 \(l(y) \le l(x) \le x \le y\)。

\(\therefore\) 如果 \(c(x),c(y)\) 相交，则 \(c(x)\) 一定包含于 \(c(y)\)。

性质二

证：\(c(x)\) 真包含于 \(c(x + \operatorname{lowbit}(x))\)。

设 \(y=x+\operatorname{lowbit}(x)\)，\(x=s \cdot 2^{k+1}+2^{k}\)

\(\therefore y = (s+1)\cdot 2^{k+1},l(x)=s\cdot 2^{k+1}+1\)

又 \(\because \operatorname{lowbit}(y) \ge 2^{k+1}\)。

\(\therefore l(y)=(s+1) \cdot 2^{k+1}-\operatorname{lowbit}(y)+1 \le s \cdot 2^{k+1}+1=l(x)\)，即 \(l(y) \le l(x) \le x \le y\)。

\(\therefore c(x)\) 真包含与 \(c(x + \operatorname{lowbit}(x))\)。

性质三

证：对于任意 \(x < y < x + \operatorname{lowbit}(x)\)，有 \(c(x)\) 与 \(c(y)\) 不交。

设 \(x=s \cdot 2^{k+1}+2^{k}\)，则 \(y=x+b=s \cdot 2^{k+1}+2^{k}+b\)，其中 \(1 \le b < 2^{k}\)。

不难发现 \(\operatorname{lowbit}(y)=\operatorname{lowbit}(b)\)。

又 \(\because b - \operatorname{lowbit}(b)\ge0\)。

\(\therefore l(y)=y-\operatorname{lowbit}(y)+1=x+b-\operatorname{lowbit}(b)+1>x\)，即 \(l(x) \le x < l(y) \le y\)。

\(\therefore c(x) 与 c(y)\) 不交。

结论

由于上面这些性质，我们很容易得到 \(i\) 的父亲就是 \(i+\operatorname{lowbit}(i)\)。

所以直接累加答案即可。

时间复杂度 \(O(N)\)。

代码

for(int i = 1; i <= n; ++i) {
  tr[i] += a[i];
  tr[i + lowbit(i)] += tr[i];
}

前缀查询

由于第 \(i\) 个节点的管辖区间是 \([i-\operatorname{lowbit}(i)+1,i]\)，所以如果令 \(g(i)=\sum \limits_{i=1}^i A_i\)，则 \(g(i)\) 还可以写作 \(g(i)=f_i+g(i-\operatorname{lowbit}(i))\)。

由于在二进制下最多有 \(\log N\) 位，每次减去 \(\operatorname{lowbit}(i)\)，所以总时间复杂度为 \(O(\log N)\)。

代码

int getsum(int p) {
  int sum = 0;
  for(; p; sum += tr[p], p -= lowbit(p)) {
  }
  return sum;
}

getsum(r) - getsum(l - 1);

单点修改

单点修改也很简单，由于 \(i\) 的父亲是 \(i+\operatorname{lowbit}(i)\)，所以将修改的节点的所有祖先累加答案即可。

由于每次 \(+\operatorname{lowbit}(i)\)，至少使 \(\operatorname{lowbit}(i)\times 2\)，即进一位，所以单词修改时间复杂度 \(O(\log N)\)。

代码

void update(int p, int x) {
  for(; p <= n; tr[p] += x, p += lowbit(p)) {
  }
}

update(p, x);

区间修改、单点查询

实际上就是把树状数组当成差分数组罢了。

代码

for(int i = 1; i <= n; ++i) {
  cin >> a[i];
  update(i, a[i]), update(i + 1, -a[i]);
}

update(l, x), update(r + 1, -x);

getsum(p);

代码

区间查询、单点修改

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int MAXN = 200001;

int n, q, a[MAXN], tr[MAXN];

int lowbit(int x) {
  return x & -x;
}

void build() {
  for(int i = 1; i <= n; ++i) {
    tr[i] += a[i];
    tr[i + lowbit(i)] += tr[i];
  }
}

void update(int p, int x) {
  for(; p <= n; tr[p] += x, p += lowbit(p)) {
  }
}

int getsum(int p) {
  int sum = 0;
  for(; p; sum += tr[p], p -= lowbit(p)) {
  }
  return sum;
}

int main() {
  ios::sync_with_stdio(false), cin.tie(0), cout.tie(0);
  cin >> n;
  for(int i = 1; i <= n; ++i) {
    cin >> a[i];
  }
  build();
  cin >> q;
  for(int i = 1, op, p, x, l, r; i <= q; ++i) {
    cin >> op;
    if(op == 1) {
      cin >> p >> x;
      update(p, x);
    }else {
      cin >> l >> r;
      cout << getsum(r) - getsum(l - 1) << "\n";
    }
  }
  return 0;
}

区间修改、单点查询

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int MAXN = 200005;

int n, q, a[MAXN], tr[MAXN];

int lowbit(int x) {
  return x & -x;
}

void update(int p, int x) {
  for(; p <= n; tr[p] += x, p += lowbit(p)) {
  }
}

int getsum(int p) {
  int sum = 0;
  for(; p; sum += tr[p], p -= lowbit(p)) {
  }
  return sum;
}

int main() {
  ios::sync_with_stdio(false), cin.tie(0), cout.tie(0);
  cin >> n;
  for(int i = 1; i <= n; ++i) {
    cin >> a[i];
    update(i, a[i]), update(i + 1, -a[i]);
  }
  cin >> q;
  for(int i = 1, op, p, x, l, r; i <= q; ++i) {
    cin >> op;
    if(op == 1) {
      cin >> l >> r >> x;
      update(l, x), update(r + 1, -x);
    }else {
      cin >> p;
      cout << getsum(p) << "\n";
    }
  }
  return 0;
}