时间复杂度的概念以及计算
老规矩, 先看看维基定义:
The time complexity of an algorithm quantifies the amout of time taken by an algorithm to run as function. The complexity of an algorithm is commonly expressed using big O notation, which excludes coefficients and lower order terms.
算法的时间复杂度量化了函数运行算法所花费的时间,排除了系数以及低阶项,算法 通常用大写的 O 表示。
T(n) = O(f(n)) (f(n) 一般是算法中频度最大的语句频度)。
算法一(线性级别):
1 int x = 1; // 计算 1 次
2 for (in i = 0; i < n; i++)
3 {
4 x += 1; // 计算 n 次
5 }
算法共计算 n + 1 次, n 无限大, 则 n ≈ n + 1(排除低阶项), 则此算法的时间复杂度为 T(n) = O(f(n)) = O(n).
算法二 (平方级别):
1 for (int i = 0; i < N; i++)
2 {
3 for (int j = i + 1; j < N; j++)
4 {
5 x += j // 执行 n + (n - 1) + (n - 2) + ...... + 1 次
6 }
7 }
算法执行 n(n + 1)/2 次, 排除系数以及低阶项, 算法复杂度T(n) = O(n2).
算法三 (指数级别) :
1 // 二分查找, x[n] 为递增数组, 求数组中值等于 p 的下标。
2 left = 0;
3 right = n - 1;
4 while (left <= right)
5 {
6 mid = (left + right)/2;
7
8 case:
9 x[mid] < t : left = mid + 1;
10 x[mid] = t : p = mid; break;
11 x[mid] > t : right = mid - 1;
共同 n 个元素, 二分执行,剩余元素依次为 n/21, n/22/, n/23, n/2k ,其中 k 为程序执行次数。
令 n/2k = 1, 则 n = 2k, k = logn, 复杂度 O = (logn).