概率论与数理统计-ch7-参数估计

统计推断的基本问题：一类是参数估计，一类是假设检验。

1、点估计

总体X的分布函数的形式已知，但参数未知，借助总体X的样本来估计总体未知参数称为参数的点估计。

思想：已知总体X的分布函数F(x,θ)的形式，参数θ未知。X1，X2，...Xn为总体X的一个样本，x1,x2,...xn为样本值。通过构造一个统计量θ(X1，X2，...Xn)，用其样本值θ(x1,x2,...xn)来近似表示。即：θ(X1，X2，...Xn)≈θ(x1,x2,...xn)

（1）矩估计

思想：用样本矩近似表示总体矩。总体矩的表达式带未知参数，通过解方程组得到参数的估计值。

（2）极大似然估计

思想：设X1，X2，...Xn为总体X的一个样本，做一次试验就得到样本值x1,x2,...xn，这表明应该选使取到这一样本值的概率最大的那个参数估计值。

极大似然原理的直观想法是：一个随机试验如有若干个可能的结果A，B，C，…。若在仅仅作一次试验中，结果A出现，则一般认为试验条件对A出现有利，也即A出现的概率很大。一般地，事件A发生的概率与参数θ相关，A发生的概率记为P(A，θ)，则θ的估计应该使上述概率达到最大，这样的θ估计顾名思义称为极大似然估计。

3、估计量的评选标准

无偏性、有效性、相合性

4、区间估计

对总体参数的估计，我们不仅希望得到参数的点估计值，而且希望得到一个估计范围，并希望知道这个范围包含参数真值的可信程度。

 对总体参数的估计，需要知道参数的真值以多大的概率落在一个估计区间内。

原理：若反复进行m次抽样，每次抽样的简单随机样本的容量为n，每次抽样得到一个参数估计区间(θ₁,θ₂)，这样得到m个区间。每个区间要么包含真值θ，要么不包含真值θ。假设置信水平为0.95，那么m个区间包括θ的占95%。如果一次抽样得到一个区间(a,b)，那么这个区间包含真值θ的可信程度为95%。

定义：设总体X的分布函数F(x，θ)含有一个未知参数θ，对于给定值ª(0<ª<1)，若由样本X1，X2，...,Xn确定的两个统计量θ₁=θ₁(X1，X2，...,Xn)和θ₂=θ₂(X1，X2，...,Xn)，对于任意θ满足

P{θ₁(X1，X2，...,Xn)<θ<θ₂(X1，X2，...,Xn)}≥1-ª，则称随机区间(θ₁,θ₂)为θ的置信水平为1-ª的置信区间，1-ª为置信水平。

包括双侧置信区间和单侧置信区间。

置信区间不唯一，但以对称的估计区间最短，表示该估计区间的精度高。

5、正态总体均值与方差的区间估计

（1）单个总体N(μ,σ)的情况

　　　　均值μ的置信区间：σ已知；σ未知

　　　　方差σ^2的置信区间：μ未知

（2）两个总体的情况

　　　　两个总体均值差μ₁-μ₂的置信区间：σ已知；σ未知

　　　　两个总体方差比σ₁²/σ2²的置信区间：μ1，μ2未知

6、(0-1)分布参数的区间估计

(0-1)分布在大容量下服从正态分布。

7、单侧置信区间

适用于分析设备寿命（单侧置信区间下限），化学药品杂质含量（单侧置信区间上限）。