几何与线性代数——向量

几何向量及其应用

1.1 向量及其线性运算

1.1.1 向量

既有大小又有方向称之为向量。

以A起点，B为终点的有向线段所表示的向量为 $\overrightarrow{AB}$ ,向量大小称向量 $\overrightarrow{AB}$ 的模，记作 $||\overrightarrow{AB}||$ 。也可以用希腊字母 $\alpha, \beta, \gamma, \cdots$ 表示向量。

有向线段表示的向量通常称为几何向量。

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1.1.2 向量的线性运算

$\dfrac {1}{||\alpha||} \alpha$ 是一个与 $\alpha$ 同方向的单位向量，记作 $\alpha^0$ （又称 $\alpha$ 的单位化）。

$$即\ \alpha^0 = \dfrac {1}{||\alpha||}\alpha \ 或\ \alpha= ||\alpha||\alpha^0.$$

1.1.3 向量的共线与共面

线性组合与线性表示

设 $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n,\beta$ 是一组向量，若存在一组实数 $k_1,k_2,\cdots,k_n$ 使得

$$\beta=k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_n\alpha_n,$$

则称 $\beta$ 是 $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$ 的一个线性组合或称 $\beta$ 可由 $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$ 线性表示。

共线向量与共面向量

方向相同或相反的向量成为共线向量，而平行于同一平面的向量成为共面向量。若 $\alpha$ 与 $\beta$ 共线，则记为 $\alpha||\beta$ 。

共线的充要条件

向量 $\alpha$ 与 $\beta$ 共线的充分必要条件是存在不全为零的数 $k,\ l$ 使得

$$k\alpha+l\beta=\theta.$$

既有 $\alpha$ 与 $\beta$ 共线的充分必要条件是其中一个可以由另一个向量线性表示。

共面的充要条件

三个向量 $\alpha,\beta,\gamma$ 共面的充要条件是存在不全为零的数 $k_1,k_2,k_3$ 使得

$$k_1\alpha+k_2\beta+k_3\gamma=\theta.$$

既有向量 $\alpha,\beta,\gamma$ 共面的充要条件是其中一个向量可由另两个向量线性表示。

线性相关与线性无关

设 $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$ 是一组向量，如果存在一组不全为零的数 $k_1,k_2,\cdots,k_n$ 使得

$$k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_n\alpha_n=\theta，$$

则称向量组 $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$ 是线性相关的；否则线性无关。

1.2 内积、外积和混合积

1.2.1 向量的内积

内积

向量 $\alpha$ 与 $\beta$ 的内积（也称数量积、点积) $\alpha\cdot\beta$ 是个数,定义为:

$$\alpha\cdot\beta=||\alpha||\cdot||\beta||\cos(\widehat{\alpha,\beta}),$$

其中 $0\leq(\widehat{\alpha,\beta})\leq\pi$ 表示 $\alpha$ 与 $\beta$ 之间的夹角.

投影

$\alpha\ 在\ \beta\ 方向上的投影为:$

$$(\alpha)_\beta=Proj_\beta\ \alpha=||\alpha||\cos(\widehat{\alpha,\beta})$$

$投影性质有(\alpha_1+\alpha_2)_\beta=(\alpha_1)_\beta+(\alpha_2)_\beta.$

1.2.2 向量的外积

外积的定义

$向量\ \alpha\ 与\ \beta\ 的外积\ \alpha\times\beta\ 是一个向量,它的模$

$$||\alpha\times\beta||=||\alpha||\cdot||\beta||\sin(\widehat{\alpha,\beta}).$$

$\alpha\times\beta\ 的方向垂直于\ \alpha\ 与\ \beta\ 所决定的平面,且\ \alpha\times\beta\ 的方向按右手定则从\ \alpha \ 转向\ \beta\ 来决定$

$外积的几何意义:||\alpha\times\beta||\ 的数值大小等于以\ \alpha\ 和\ \beta\ 为边的平行四边形的面积.$

外积的性质

$外积有以下性质:\\ 1.\ \alpha\times\alpha=\theta\\ 2.\ \alpha\times\beta=\theta\iff\alpha||\beta\\ 3.\ \alpha\times\beta=-\beta\times\alpha(反交换律)\\ 4.\ (k\alpha)\times\beta=k(\alpha\times\beta)(结合律)\\ 5.\ \alpha+\beta=\alpha\times\gamma+\beta\times\gamma(分配律)$

1.2.3 向量的混合积

混合积的定义

$三个向量\ \alpha,\beta,\gamma\ 的混合积是指(\alpha\times\beta)\cdot\gamma,它是一个数,记作(\alpha,\beta,\gamma).\\ 从几何意义上来讲,(\alpha,\beta,\gamma)在数值上等同于以\alpha,\beta,\gamma为边构成的平行六面体的体积.\\ 则有$

$$\alpha,\beta,\gamma\ 共面\iff(\alpha,\beta,\gamma)=0$$