24暑假集训day6上午&下午

DP

概念

状态、转移方程、初始化

先放一张图（相信都能理解：状态、转移方程、初始化的含义，~~随便引入斐波那契数列的题~~）

入门题

Problem 1

斐波那契数列

f_{i} = f_{i - 1} + f_{i - 2}

组合数

转移方程：

C (n, m) = C (n - 1, m - 1) + C (n - 1, m)

C (n, 0) = 1

杨辉三角：

f [i] [j] = f [i - 1] [j - 1] + f [i - 1] [j]

Problem 2

$N \cdot M$ 的方格图只能向右或者向下求走到右下的方案数？
和走到右下的最小代价？

f [i] [j] = min (f [i] [j - 1], f [i - 1] [j]) + z [i] [j]

Problem 3

数字三角形给你一个三角形，问从怎么走能够取得最大代价

f [i] [j] = max (f [i - 1] [j], f [i - 1] [j + 1]) + z [i] [j]

Problem 4

在上一个题的基础上变化为求和 $mod 100$ 之后最大的结果

多一个条件

多一维状态

Problem 5

最长上升子序列求方案

f [i] = max (f [j]) + 1

dp 状态的判定

思考什么东西发生变化

$f [$ 位置 $] [$ 和 $] ⟹ f [i] [j] [k]$ 是否可能

走到 $(i, k)$ 和为 $k$

int f[位置] = 和

$f [i] [j]$ 走到 $(i, k)$ 和最大是多少

Problem 6

滑雪 $N$ 行 $M$ 列的图

每个格子有高度
可以滑向周围四个比自己矮的格子
最多能划多远

思路：

排序之后就是前面一道题

#include <iostream>
#include <queue>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#include <vector>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <set>
#include <map>
#include <unordered_map>
#include <bitset>
using namespace std;
const int MAXX = 1e5 + 10, MAXN = 1e9 + 10;
inline int read(){
	int x=0,f=1;char ch=getchar();
	while (ch<'0'||ch>'9'){if (ch=='-') f=-1;ch=getchar();}
	while (ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-48;ch=getchar();}
	return x*f;
}
int n, m;
int h[233][233], f[233][233];//f[i][j]代表从(i, j)这个位置出发 最远能滑多远 
bool g[233][233];//g[i][j]代表f[i][j]算过没 

int dx[10] = {-1, 1, 0, 0};//上下左右
int dy[10] = {0, 0, -1, 1};//dx[i], dy[i]代表的是在第i个方向下x的坐标和y坐标的偏差值 

const int M = 250 * 250;

pair<int, int> z[M];//z[i]代表一个坐标 

bool cmp(pair<int, int> a, pair<int, int> b){
	return h[a.first][a.second] > h[b.first][b.second];
}

int main(){
	n = read(), m = read();
	int k = 0;
	for(int i = 1;i <= n;i++){
		for(int j = 1;j <= m;j++){
			h[i][j] = read();//每个位置的高度 
			k++;
			z[k] = make_pair(i, j);
		}
	}
	sort(z + 1, z + k + 1, cmp);
	
	for(int a = 1;a <= k;a++){
		int i = z[a].first;
		int j = z[a].second;
		//取出当前坐标 
		//int h = ::h[i][j];
		//取出当前坐标高度 
		f[i][j] = max(f[i][j], 1);
		for(int d = 0;d < 4;d++){
			int x = i + dx[d];
			int y = j + dy[d];
			//从 (i,j)沿着方向d走一格会走到(x, y) 
			if(x >= 1 && x <= n && y >= 1 && y <= m)//判断(x, y)是否合法 
		          	if(h[i][j] > h[x][y])//(i, j)高度比(x, y)高度更高 
		          		f[x][y] = max(f[x][y], f[i][j] + 1);
		}
	}
	int ans = -1;
	for(int i = 1; i <= n; i ++)
		for(int j = 1; j <= n; j ++)
		          ans = max(ans, f[i][j]);
	cout << ans << endl;
	return 0;
}

Problem 7

乌龟棋

长度为 $N$ 的格子上有权值
$M$ 张牌，上面有 $1 - 4$ 中的一个数
使用一张牌往前走几步
最大化经过的位置的权值和

思路：

f[i][j][k][l][r]

考虑优化

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int f[45][45][45][45];
int g[5];
int a[400];
int main()
{
    int n,m;
    cin>>n>>m;
    int i,j,k,l;
    for(i=1;i<=n;i++)
        cin>>a[i];
    f[0][0][0][0]=a[1];
    for(i=1;i<=m;i++){
        int x;
        cin>>x;
        g[x]++;
    }
    for(i=0;i<=g[1];i++)
        for(j=0;j<=g[2];j++)
            for(k=0;k<=g[3];k++)
                for(l=0;l<=g[4];l++){
                    int move=1+i+2*j+3*k+4*l;
                    if(i!=0) f[i][j][k][l]=max(f[i][j][k][l],f[i-1][j][k][l]+a[move]);
                    if(j!=0) f[i][j][k][l]=max(f[i][j][k][l],f[i][j-1][k][l]+a[move]);
                    if(k!=0) f[i][j][k][l]=max(f[i][j][k][l],f[i][j][k-1][l]+a[move]);
                    if(l!=0) f[i][j][k][l]=max(f[i][j][k][l],f[i][j][k][l-1]+a[move]);
                }
    cout<<f[g[1]][g[2]][g[3]][g[4]]<<endl;
    return 0;
}

区间dp

所有的操作都是针对区间进行，不会有跨越两个元素的情况

Problem 1

合并石子

每次选择相邻两堆
代价为两堆石子和
问最小总代价

思路：

用 $𝑓 [𝑚] [𝑟]$ 表示一段区间合并的最小代价

枚举断点合并

如果是环形要如何处理？

Problem 2

给出一个的只有 ()[] 四种括号组成的字符串，求最多能够选出多少个括号满足完全匹配

思路：

$𝑓 [𝑚] [𝑟]$ 代表该段区间能匹配的最多字符

转移一枚举断点
转移二去掉端点
转移三匹配端点

Problem 3

给你 $n$ 个数字

要求不能删除左右端点的数字
删除其他数字的代价是该数字和左右相邻数字的乘积
问把数字（除端点）删完后的最小总代价

还是 $𝑓 [𝑚] [𝑟]$

注意：状态要表示为保留左右两张卡片

Problem 4

给定字符串，求回文子序列的数量

注：两个回文子序列只要位置不同就算做不同的回文子序列

思路：

关键：去重

转移一：容斥原理
转移二：当左右字符相同时再补充一次内部答案

Problem 5

给定凸 $N$ 边形

每个点有一个权值
将凸多边形三角化
每个三角形的三个点权乘起来求和
问最小和

思路：

本质上是一个环形区间dp

背包

Problem 1

$N$ 个物品 $M$ 容量每个物品有体积和价值

最大化价值和
如果物品可以用无限次？
如果物品可以用有限次？

树形dp

本质：

基于树的dp

dp方法始终为从下至上进行dp
在每个节点对所有儿子做聚合
可能需要多一遍 dfs 或者 bfs

图的存储

#include <iostream>
#include <queue>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#include <vector>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <set>
#include <map>
#include <unordered_map>
#include <bitset>
using namespace std;
const int MAXX = 1e5 + 10, MAXN = 1e9 + 10;
inline int read(){
	int x=0,f=1;char ch=getchar();
	while (ch<'0'||ch>'9'){if (ch=='-') f=-1;ch=getchar();}
	while (ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-48;ch=getchar();}
	return x*f;
}
int n;
vector<int> z[MAXX];//z[i]代表从i出发的所有边 z[i][j]代表从i出发的第j条边会走到z[i]
int f[MAXX];
void dfs(int i, int fa){//当前dfs到了i点他的父亲是fa 
//要求f[i] 
	for(auto j : z[i]){//从i->j的边 
		if(j != fa){
			dfs(j, i);
		}
	}
	f[i] = 1;
	for(auto j : z[i]){//从i->j的边 
		if(j != fa){
			f[i] += f[j];
		}
	}
}	

int main(){
	n = read();
	for(int i = 1;i <= n;i++){
		int s, e;
		s = read(), e = read();
		z[s].push_back(e);
		z[e].push_back(s);
	}
	dfs(1, 0);
	cout << f[1] << '\n';	
	return 0;
}

Problem 1

求树上有多少个点

思路：

Problem 2

求树的直径

思路：

$F [i] [0]$ 最长

$F [i] [1]$ 次长

#include <iostream>
#include <queue>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#include <vector>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <set>
#include <map>
#include <unordered_map>
#include <bitset>
using namespace std;
const int MAXX = 1e5 + 10, MAXN = 1e9 + 10;
inline int read(){
	int x=0,f=1;char ch=getchar();
	while (ch<'0'||ch>'9'){if (ch=='-') f=-1;ch=getchar();}
	while (ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-48;ch=getchar();}
	return x*f;
}
int n;
int ans;
vector<int> z[MAXX];//z[i]代表从i出发的所有边 z[i][j]代表从i出发的第j条边会走到z[i]
int f[MAXX][2];//f[i][0/1]从i出发向下走最长或次长的路径长度 
void dfs(int i, int fa){//当前dfs到了i点他的父亲是fa 
//要求f[i] 
	for(auto j : z[i]){//从i->j的边 
		if(j != fa){
			dfs(j, i);
		}
	}
	priority_queue<int> heap;
	heap.push(0);
	heap.push(0);
	for(auto j : z[i]){//从i->j的边 
		if(j != fa){
			heap.push(f[j][0] + 1);
		}
	}
	f[i][0] = heap.top();
	heap.pop();
	f[i][1] = heap.top();
	ans = max(ans, f[i][0] + f[i][1]);
}	

int main(){
	n = read();
	for(int i = 1;i <= n;i++){
		int s, e;
		s = read(), e = read();
		z[s].push_back(e);
		z[e].push_back(s);
	}
	dfs(1, 0);
	cout << f[1] << '\n';	
	return 0;
}

Problem 3

求树上路径总长度和

思路：

F[i] 表示子树内答案

DP + Dfs

Problem 5

现在要在一棵树上布置士兵，每个士兵在结点上，每个士兵可以守护其结点直接相连的全部点，问最少需要布置多少个士兵。

Problem 6

一棵结点带权树，大小(结点数)为 $k$ 的子树的权值和最大为多少。

数据范围 $100$ 以内

Problem 7

依赖背包问题

每个物品要选必须先选某个指定的物品，问能够获得的最大价值

posted @ 2024-08-03 17:19 Yantai_YZY 阅读(8) 评论(0) 编辑收藏举报

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