五一培训第二天

一 素数

今天先来回顾一下之前学过的素数（质数），当n是质数时，以下两个式子，至少有一个是成立的

1.a的d次方 % n == 1

2.存在一个i,0 <= i < r,a的d乘2的i次方的次方 % n == n - 1

那我们怎样用它判断素数呢？

如果$n$为质数 --- $a$ --- 一定成立

如果$n$为合数 --- $a$ --- 可能成立,可能不成立 --- 如果不成立,为合数 --- 如果成立,再算,再成立,再算 --- 如果一直成立,不保证100%,但是99.999% --- 要是错了,去买彩票吧...

总结就是，miller_rabin算法用了极其微小的正确率，换来了更加优秀的时间复杂度

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

int ksm(int a,int b,int p){
    if(b == 0) return 1%p;
    int c=ksm(a,b/2,p);
    c=1ll*c*c%p;
    if(b % 2 == 1) c=1ll*c*a%p;
    return c;
}

bool miller_rabin(int n,int a){//O(log n)
    int d=n-1,r=0;
    while(d % 2 == 0){
        d=d/2;
        r=r+1;
    }
    int v=ksm(a,d,n);
    if(v == 1) return true;//若第一条满足，return ture
    for(int i=0;i<r;i++){
        if(v == n-1) return true;//若第二条满足，return true
        v=(__int128)v*v%n;//没有必要写快速幂，不断的平方就好了
    }
    return false;
}

bool is_prime(int n){
    if(n < 2) return false;
    if(n == 2) return true;
    for(int i=1;i<=20;i++){
        int a=rand() % (n-1)+1;//赌徒，随机赋值
        if(miller_rabin(n,a) == false) return false;
    }
    return true;
}

int prime_list[10]={2,3,5,7,11,13,17,19,31,97};

bool is_prime2(int n){
    if(n < 2) return false;
    for(int i=0;i<10;i++){
        if(n == prime_list[i]) return true;
        if(n % prime_list[i] == 0) return false;
        if(miller_rabin(n,prime_list[i] % n) == false) return false;
    }
    return true;
}

signed main(){
    int n;
    cin>>n;

    if(is_prime(n) == true) cout<<"Yes"<<endl;
    else cout<<"No"<<endl;

    if(is_prime2(n) == true) cout<<"Yes"<<endl;
    else cout<<"No"<<endl;

    return 0;
}

那如果换一种形式呢？现在，请你求出1_{$n$中的所有质数。可以将枚举1}$n$，将i的所有倍数都标记为不是质数，你肯定会写出这样的一坨代码

int not_prime[1010];
void f(int n){//O(nloglog n)
    for(int i=2;i<=n;i++){
        if(not_prime[i] == false){
            for(int j=i+i;j<=n;j+=i){
                not_prime[j] = true;
            }
        }
    }
}

可以看出，它的复杂度是O(nloglog n)，其实已经够用了，但我们还要继续优化——线性筛

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;wq

const int maxn=1000010;

int pcnt,not_prime[maxn],plist[maxn];

signed main(){
    int n;
    cin>>n;
    not_prime[1] = true;

    for(int i=1;i<=n;i++){
        if(not_prime[i] == false){
            pcnt=pcnt+1;
            plist[pcnt] = i;
        }

        for(int j=1;j<=pcnt;j++){
            int v=plist[j] * i;
            if(v > n) break; 
            not_prime[v] = true;
            if(i % plist[j] == 0){
                break;
            }
        }
    }
    return 0;
}

二 组合数学

组合数学主要分为加法原理和乘法原理，他们两个的区别就是加法原理不可以同时选，而乘法原理可以同时选，具体看图

现在给你一道题，有n个人，从中选出m个人，而不同的顺序算不同的方案

可得出$P(n,m)=n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)....(n-m)$

很好，那如果不同的顺序算相同的方案呢

可得出${\displaystyle \frac{P(n,m)}{m!}}$

相信聪明的你肯定还可以列出组合数的递推式

$C(i,j)=C(i-1,j-1)+C(i-1,j)$

有没有感觉这坨东西有点似曾相识，没错，这就是杨辉三角形，看下面

1
1 1
1 2 1 
1 3 3 1
1 4 6 4 1

三 还是组合数学

在组合数学中，有一类很常见的题目，但他们又有一些其他的分类（待补充）

给定$n,m,p$，请你按照各题输出$C(n,m)\mathrm{\%}P$

• $n,m\le {10}^3,P\le {10}^9$：

  由于数据范围不大，所以直接用递推式$C(i,j)=C(i-1,j-1)+C(i-1,j)$

  signed main(){
      int t,k;
      cin>>t>>k;
  
      for(int i=0;i<=200;i++){
          c[i][0] = 1;
          for(int j=1;j<=i;j++){
              c[i][j]=c[i-1][j-1]+c[i-1][j];
          }
      }
  
      cout<<c[t][k]<<'\n';
      return 0;
  }
  

• $n,m\le {10}^6,P\approx {10}^9$（$P$ 为质数,有 $q$ 次询问，$q\le {10}^6$）：

  可以用公式 $C(n,m)={\displaystyle \frac{n!}{m!(n-m)!}}$。

  signed main(){
      fac[0] = 1;
      for(int i=1;i<=1000000;i++){
          fac[i]=1ll*fac[i-1]*i%p;
      }
      for(int i=0;i<=1000000;i++){
          ifac[i]=ksm(fac[i],p-2);
      }
  
      for(int i=1;i<=q;i++){
          int n,m;
          cin>>n>>m;
          int ans=1ll*fac[n]*ifac[m]%p*ifac[n-m]%p;
          cout<<ans<<endl;
      }
      returen 0;
  }
  

• $n\le {10}^9,m\le {10}^3,1\le P\le {10}^9$(任意数)

  可以用程序来实现约分

  signed main(){
      cin>>n>>m>>p;
      for(int i=1;i<=m;i++){
          fenzi[i] = n-i+1;
          fenmu[i] = i;
      }
  
      for(int i=1;i<=m;i++){
          for(int j=1;j<=m;j++){
              int g=gcd(fenzi[i],fenmu[j]);
              fenzi[i] = fenzi[i] / g;
              fenmu[j] = fenmu[j] / g;
          }
      }
  
      int ans=1;
      for(int i=1;i<=m;i++){
          ans=1ll*ans*fenzi[i]%p;
      }
      cout<<ans<<endl;
  
      return 0;
  }
  

• $n,m\le {10}^{1}8,P\le {10}^5,P$ 为质数，有 $q$ 次询问（$q\le {10}^5$）：

  需要用到Lucas 定理（当 $P$ 是质数时，$C(n,m)$）。

  int C(int n,int m){
      if(n < p) return 1ll * fac[n] * ifac[m] % p *ifac[n-m] % p;
      else return 1ll * C(n%p,m%p) * C(n/p,m/p) % p;
  }
  signed main(){
      fac[0] = 1;
      for(int i=1;i<=1000000;i++){
          fac[i]=1ll*fac[i-1]*i%p;
      }
      for(int i=0;i<=1000000;i++){
          ifac[i]=ksm(fac[i],p-2);
      }
  
      for(int i=1;i<=q;i++){
          int n,m;
          cin>>n>>m;
          int ans=1ll*fac[n]*ifac[m]%p*ifac[n-m]%p;
          cout<<ans<<endl;
      }
      returen 0;
  }
  

四 抽屉原理

大概意思就是你先在有$n+1$个鼠标，还有$n$台电脑，把鼠标插到电脑上，那么肯定有一台电脑要插两个鼠标。这，就是抽屉原理

现在，给你一个数$C$，并给你$N$个数，从他们之中选出任意个数，使得他们的和是$C$的倍数。

那么，这和抽屉原理有什么关系呢？

我们可以把它看成一个序列，每一个数的位置都有一个前缀和，也就是有$n$个前缀和，把这$n$个前缀和放到$n-1$个抽屉里，那一个放两个的那段序列，就是最终的答案！

五 容斥原理

要想了解他，先看一道题。

给你一个数$n$，请问$1-n$中有多少个数可以表示成$x^y,1\le y$

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

int fac[70];
//fac[i] 代表 x^i这种数 被算了几次了 

long long n;

int main()
{
	cin >> n;//计算1-n中有多少个数可以表示成x^y,x>1,y>1的形式 
	long long ans=0;
	for (int i=2;i<=64;i++)
	{
		long long v = floor(pow(n,1.0/i)) - 1;//计算2~n中有多少个数 可以表示成x^i的形式 
		int d = 1 - fac[i];//代表x^y这种 还应该被算几次 
		ans += d*v;
		for (int j=i;j<=64;j+=i)
			fac[j] += d;
	}
	cout << ans+1 << endl;
	//输出时记得加上减去的 1
	return 0;
}

六 组合数拆分P4369

现在有这样一道例题，给定你$x$和$k$，请你把$x$拆分成$k$个不同的组合数只和，请你输出任意一种方案。$x\le {10}^9,k\le {10}^3$

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

signed main(){
	int x,k;
	cin>>x>>k;
	
	for (int i=1;i<k;i++){
		cout<<i<<" "<<0<<'\n';
	}
	
	cout<<x-k+1<<" "<<1<<'\n';
	return 0;
}