[国家队集训]最短路
https://www.zybuluo.com/ysner/note/1253665
题面
考虑一张\(n\)个点的无向完全图,总共有\(\frac{n*(n−1)}{2}\)条边。每条边有\(p\)的概率存在,\(1-\frac{p}{10^6}\)的概率不存在。
现在等概率在\(n\)个点中随机选一个,求\(1\)号点到它的最短距离(经过的边数)。
如果\(1\)号点和它不连通,则认为答案是\(10^9\) 。求期望答案。
- \(50pts\ n\leq100\)
- \(100pts\ n\leq400\)
解析
不难发现，在当前题目条件下，除了\(1\)节点，其它点期望是一样的。
可以考虑从\(1\)号点出发，由近到远地统计各个点的期望。（然而我考场上是反过来想的，于是逃不过后效性这个大坑）
据说这个概念叫\(BFS\)树？？？（深度等于距离）
\(50pts\)算法
一个想法是设\(dp[i][sum][s]\)表示当前统计到到第\(i\)层（离\(1\)号点距离为\(i\)）、已经统计了\(j\)个点的答案、用其中的\(s\)个点与下一层的\(t\)（枚举）个点相连（往下拓展）的任意一点的期望。
（至于为什么这么多维，尝试列下转移式就知道了）
那么,枚举一下\(t\)，转移是这样的
if(i+1==n-1)
add(f[i+1][sum+t][t],1ll*f[i][sum][s]*lk[s][t]%mod*C[n-sum][t]%mod);
else
add(f[i+1][sum+t][t],1ll*f[i][sum][s]*lk[s][t]%mod*dlk[s][n-sum-t]%mod*C[n-sum][t]%mod);
\(lk[s][t]\)表示\(t\)个点起码被\(s\)中一个点连了的概率，即\((1-(1-\frac{p}{10^6})^s)^t\)。
\(dlk[s][t]\)表示\(s\)个点与\(t\)个点完全没边的概率，即\((1-\frac{p}{10^6})^{st}\)
统计答案，就是把当前层所有点的距离（就是层编号）乘上概率，得到当前层的期望，加入答案。
注意不连通这一情况还要单独乘概率。
for(int d = 0; d <= n-1; d ++)
for(int sum = 1; sum <= n; sum ++)
for(int s = 1; s <= sum; s ++)
if(f[d][sum][s])
{
add(Ans,1ll*f[d][sum][s]*s%mod*d%mod) ;
add(Ans,1ll*f[d][sum][s]*(n-sum)%mod*dlk[s][n-sum]%mod*(1e9)%mod);
}
复杂度\(O(n^4)\)。
\(100pts\)算法
发现由于每次向下只转移一层，那个\(i\)没有什么卵用（但是它要统计进答案）。
考虑把它弄掉。
我们不枚举\(i\)了，并把这一维从\(DP\)状态中删掉。
注意到（\(p\)为概率，\(E\)为期望）
\(ans\)
\(=\sum P*(dis+1)\)
\(=\sum P*dis+\sum P\)
\(=\sum E+\sum P\)
则我们可以把\(dp\)数组分为两个，\(sum\)表示当前已经统计了\(sum\)个点的答案，\(j\)表示将用其中\(j\)个点与下一层点相连。则\(f[sum][j]\)表示该状态下的概率和，\(g[sum][j]\)表示该状态的期望和（即概率乘期望）。
于是每层任意一点对答案产生的贡献转变为\(f[sum][j]+g[sum][j]\)。
怎么转移\(f\)和\(g\)？
枚举\(t\)，乘上该层连通的概率和方案数（选出\(n-sum\)中的\(k\)个点),
\(f[sum][j]\)就可以转移给\(f[sum+k][k]\),
\(g[num][j]+f[sum][j]\)就可以转移给\(g[sum+k][k]\)。
最后\(ans\)要乘上\(n-1\)。（没错，\(50pts\)算法统计了，这里没统计）
复杂度\(O(n^3)\)。
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<vector>
#define re register
#define il inline
#define ll long long
#define max(a,b) ((a)>(b)?(a):(b))
#define min(a,b) ((a)<(b)?(a):(b))
#define fp(i,a,b) for(re int i=a;i<=b;i++)
#define fq(i,a,b) for(re int i=a;i>=b;i--)
using namespace std;
const int mod=998244353,N=500,M=1e6;
ll n,p,inv,ans,f[N][N],g[N][N],C[N][N],np,b[N],lk[N][N],dlk[N][N];
bool vis[N];
il ll gi()
{
re ll x=0,t=1;
re char ch=getchar();
while(ch!='-'&&(ch<'0'||ch>'9')) ch=getchar();
if(ch=='-') t=-1,ch=getchar();
while(ch>='0'&&ch<='9') x=x*10+ch-48,ch=getchar();
return x*t;
}
il ll ksm(re ll S,re ll o)
{
re ll T=S;S=1;
while(o)
{
if(o&1) S=S*T%mod;
T=T*T%mod;
o>>=1;
}
return S;
}
il void Pre()
{
b[0]=1;fp(i,1,n) b[i]=b[i-1]*np%mod;
fp(i,0,n) fp(j,0,n) lk[i][j]=ksm(mod+1-b[i],j);
fp(i,0,n) fp(j,0,n) dlk[i][j]=ksm(np,i*j);
fp(i,0,n)
{
C[i][0]=1;
fp(j,1,i) C[i][j]=(C[i-1][j]+C[i-1][j-1])%mod;
}
}
il void DP()
{
f[1][1]=1;g[1][1]=0;
fp(sum,1,n-1)
fp(j,1,sum)
if(f[sum][j])
{
(ans+=(mod+1-b[j])*(f[sum][j]+g[sum][j])%mod)%=mod;
(ans+=dlk[n-sum][j]*f[sum][j]%mod*((ll)(1e9)%mod)%mod)%=mod;
fp(k,1,n-sum-1)
{
re ll xs=lk[j][k]*dlk[j][n-sum-k]%mod*C[n-sum-1][k]%mod;
(f[sum+k][k]+=xs*f[sum][j]%mod)%=mod;
(g[sum+k][k]+=xs*((f[sum][j]+g[sum][j])%mod)%mod)%=mod;
}
}
}
int main()
{
n=gi();p=gi();inv=ksm(M,mod-2);
np=(M-p)*inv%mod;
Pre();DP();
printf("%lld\n",ans*(n-1)%mod*ksm(10,6*n*n)%mod);
return 0;
}
