[CQOI2011]放棋子

https://www.zybuluo.com/ysner/note/1246107

题面

在一个\(n\)行\(m\)列的棋盘里放\(c\)种不同色的棋子（每种有\(c_i\)个），使得每个格子最多放一个棋子，且不同
颜色的棋子不能在同一行或者同一列。有多少种方法？

\(n,m\leq30,c\leq10\)

解析

被细节坑惨系列
题目输入了\(n,m,c\)这三个量，于是\(DP\)数组中也要包含这三个量。(？？？)
设\(f[i][j][k]\)表示前\(k\)种棋子放了任意\(i\)行、\(j\)列。
决策是：在哪些位置填同种颜色的棋子。

于是枚举上一个状态的\(i,j\)（表示为\(l,r\)）。上一状态\(k'=k-1\)。
如果设\(g[i][j][k]\)表示\(k\)个同颜色棋子放了任意\(i\)行、\(j\)列的方案数，
则$$f[i][j][k]+=f[l][r][k-1]g[i][j][k]C_{n-l}^{{i-l}*C_{m-r}}$$
\(C_{n-l}^{i-l}\)表示在空着的\(n-l\)行中选出\(i-l\)行放棋子。\(C_{m-r}^{i-r}\)同理。

怎么求\(g[i][j][k]\)呢？（卡壳处）
直接求求不出，可以换一种思路——容斥，用所有方案减去不合法方案（即有行列没填，或者可以理解为合法的局部方案）。

\[g[i][j]=C_{i*j}^{k}-g[l][r]*C_{i}^l*C_{j}^r$$依式转移即可。 由于只要放完棋子而不一定要摆满行列。 $$ans=\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n}f[i][j][c]\]

注意事项：

• 允许一种颜色棋子只放行、不放列的情况。
• 注意组合数的合法性（即\(C_n^m\)中\(n\geq m\))

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#define ll long long
#define re register
#define il inline
#define fp(i,a,b) for(re int i=a;i<=b;i++)
#define fq(i,a,b) for(re int i=a;i>=b;i--)
using namespace std;
const int N=2005,mod=1e9+9;
int n,m,c,a[40];
ll f[40][40][40],g[40][40],C[N][N],ans;
il ll gi()
{
  re ll x=0,t=1;
  re char ch=getchar();
  while(ch!='-'&&(ch<'0'||ch>'9')) ch=getchar();
  if(ch=='-') t=-1,ch=getchar();
  while(ch>='0'&&ch<='9') x=x*10+ch-48,ch=getchar();
  return x*t;
}
int main()
{
  n=gi();m=gi();c=gi();
  fp(i,1,c) a[i]=gi();
  fp(i,0,2000)
    {
      C[i][0]=1;
      fp(j,1,i) C[i][j]=(C[i-1][j]+C[i-1][j-1])%mod;
    }
  f[0][0][0]=1;
  fp(k,1,c)
    {
      memset(g,0,sizeof(g));//注意到g值只对一种颜色有效
      fp(i,0,n)
    fp(j,0,m)
    if(i*j>=a[k])//...
    {
      g[i][j]=C[i*j][a[k]];
          fp(l,0,i)
        fp(r,0,j)
	    if(l<i||r<j)//
        g[i][j]=(g[i][j]-g[l][r]*C[i][l]%mod*C[j][r]%mod+mod)%mod;
    }
      fp(i,0,n)
    fp(j,0,m)
    fp(l,0,i)
    fp(r,0,j)
	if(l<i||r<j)//
    f[i][j][k]=(f[i][j][k]+f[l][r][k-1]*g[i-l][j-r]%mod*C[n-l][i-l]%mod*C[m-r][j-r]%mod+mod)%mod;
    }
  fp(i,1,n) fp(j,1,m) (ans+=f[i][j][c])%=mod;
  printf("%lld\n",ans);
  return 0;
}