[HAOI2015]数组游戏

https://zybuluo.com/ysner/note/1233363

题面

有一个长度为\(N\)的数组，每个格子颜色为黑或白。两人轮流操作。每次操作选择一个白格，假设它的下标为\(x\)。接着，选择一个大小在\(1-n/x\)之间的整数\(k\)，然后将下标为\(x\)、\(2x\)、...、\(kx\)的格子都进行颜色翻转。不能操作的人输。问先手是否有必胜策略。

• \(30pts\ n\leq20\)
• \(50pts\ n\leq10^6\)
• \(100pts\ n\leq10^9,w\leq100\)

解析

\(30pts\)算法

状态压缩+记忆化搜索

\(50pts\)算法

该问题很像翻硬币问题。
既然不能翻黑色格子，说明黑色格子的\(SG\)值对答案没有直接影响。
由性质\(SG(A\bigoplus B)=SG(A)\bigoplus SG(B)\)，
可知整个游戏的\(SG\)值为所有可行操作的异或和，即所有白格的\(SG\)值异或和。

求\(SG\)值，就是对 所有后继状态（操作后状态）的\(SG\)值 的异或和取\(mex\)。
再应用一下上面那个性质，可得一个递推式

\[SG(x)=mex_{1<i\leq(n/x)}(\bigoplus_{t=2}^iSG(t*x)) \]

模拟一发即可。
然而我因没注意到存在\(SG(x)>x\)和一定有\(SG(x)>0\)而\(WA\)得怀疑人生。。。
复杂度为\(O(nlogn)\)。

const int mod=1e9+7,N=1e7+100;
int n,q,w,SG[N],ans,viss[N];
il void getSG(re int x)
{
  re int t=1,tot=0;
  viss[0]=x;
  while(233)
    {
      ++t;
      if(x*t>n) break;
      viss[SG[x*t]^tot]=x;
      tot^=SG[x*t];
    }
  re int tmp=0;while(viss[tmp]==x) ++tmp;
  SG[x]=tmp;
}
int main()
{
  n=gi();q=gi();
  fq(i,n,1) getSG(i);
  while(q--)
  {
      ans=0;
      w=gi();
      fp(i,1,w) ans^=SG[gi()];
      puts(ans?"Yes":"No");
    }
  return 0;
}

\(100pts\)算法

经过愉快地打\(SG\)函数表后，发现只要\(n/i=n/j\)，则\(SG(i)=SG(j)\)。
于是把\(SG\)值相同的值合为一块来计算即可。
注意存\(SG\)值的技巧：分为两半。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<vector>
#define re register
#define il inline
#define ll long long
#define max(a,b) ((a)>(b)?(a):(b))
#define min(a,b) ((a)<(b)?(a):(b))
#define fp(i,a,b) for(re int i=a;i<=b;i++)
#define fq(i,a,b) for(re int i=a;i>=b;i--)
using namespace std;
const int mod=1e9+7,N=1e6+100;
int n,q,w,SG[2][N],ans,blk,b[N],id,vis[N];
il ll gi()
{
   re ll x=0,t=1;
   re char ch=getchar();
   while(ch!='-'&&(ch<'0'||ch>'9')) ch=getchar();
   if(ch=='-') t=-1,ch=getchar();
   while(ch>='0'&&ch<='9') x=x*10+ch-48,ch=getchar();
   return x*t;
}
il int getSG(re int x)
{
  x=n/(n/x);
  if(x<=blk) return SG[0][x];else return SG[1][n/x]; 
}
il void Pre()
{
    for(re int i=1;i<=n;i=n/(n/i)+1) b[++b[0]]=n/(n/i);
    fq(i,b[0],1)
    {
        re int x=b[i],now=0;++id;vis[0]=id;
        for(re int j=x+x;j<=n;)
        {
        	re int t=(n/(n/j))/x*x,tmp=(t-j)/x+1;
        	vis[now^getSG(j)]=id;
        	if(tmp&1) now^=getSG(j);
        	j=t+x;
        }
        re int tmp=0;while(vis[tmp]==id) ++tmp;
        if(x<=blk) SG[0][x]=tmp;else SG[1][n/x]=tmp;
    }
}
int main()
{
  n=gi();q=gi();blk=sqrt(n)+1;
  Pre();
  while(q--)
  {
      ans=0;w=gi();
      fp(i,1,w) ans^=getSG(gi());
      puts(ans?"Yes":"No");
    }
  return 0;
}