长途旅行

https://zybuluo.com/ysner/note/1174036

题面

给出一无向图，询问从\(1\)号点出发，能否在恰好走的距离为\(T\)时，到达\(n\)号点。（可重复经过点和边）

• 对于\(30pts\) \(T\leq10^4\)
• 对于另外\(30pts\) \(n\leq5,m\leq10\)
• 对于\(100pts\) \(n\leq50,m\leq100,w\leq10^4,T\leq10^{18}\)

解析

\(T\leq10^4\)

\(vis[u][len]\)标记该状态是否走过，记搜。

\(n\leq5,m\leq10\)

注意到我们似乎很明确他重复走的路线。
于是\(Pre()\)一下，把\(T\)变小。

il void Pre()
{
  mod=10000;
  Predfs(1,0,0);//找一条从起点到终点的路线,ysn表路线长度
  re ll yl=(t-mod)/ysn;
  yl-=yl%2;//保证这条路多走了偶数遍
  t-=yl*ysn;
  return;
}

接下来\(30pts\)记搜即可。

\(T\leq10^{18}\)

\(T\)能搞成这么大，直接标\(vis\)空间时间一起炸飞。
但是，每个点有\(T\)个状态，这\(T\)个状态都是有价值的吗?
如果到点\(u\)的路径上有一只大小为\(k\)的环，那么假设\(vis[u][len]=1\)，则\(vis[u][len+kq]=1\)（\(q\in N^*\))
那每个点设\(k\)个状态不就成了，装作距离\(qk\)不存在的样子。
但我们实际上还是要统计距离来和\(T\)比较，这点应存在数组中。
于是\(vis[u][len]\)转型为\(dp[u][len]\),记录到该点的实际距离，且该数组满足性质\(dp[u][len]=len+kq(k\in N^*)\)。。
但距离再长些也不过是多走几圈环，没什么意义，我们还是记最短距离吧。
于是，我们期望着\(dp[n][T]\)，不不不，是\(dp[n][T\%k]\)的值应当小于等于\(T\)（小于\(T\)，我们再走几圈环就可以了）。

于是这个环在哪？
根据以上分析，从点\(1\)必须能到达这个环，除此以外具有任意性。
那就找连接\(1\)的一条边吧。
为了使状态量最少，这条边应取最短边。

(为了卡常数，我交换了dp数组的两维）

#include<iostream>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<algorithm>
#include<queue>
#define ll long long
#define re register
#define il inline
#define fp(i,a,b) for(re int i=a;i<=b;i++)
#define fq(i,a,b) for(re int i=a;i>=b;i--)
using namespace std;
const int N=500,mod=10000;
int T,n,m,cnt,h[N],f=0,ysn,d;
ll t,dp[20005][105];
bool vis[20005][105];
struct Edge{int to,nxt,w;}e[N<<1];
il void add(re int u,re int v,re int w){e[++cnt]=(Edge){v,h[u],w};h[u]=cnt;}
il ll gi()
{
  re ll x=0,t=1;
  re char ch=getchar();
  while((ch<'0'||ch>'9')&&ch!='-') ch=getchar();
  if(ch=='-') t=-1,ch=getchar();
  while(ch>='0'&&ch<='9') x=x*10+ch-48,ch=getchar();
  return x*t;
}
il void wri(re int x)
{
  if(x<0) putchar('-'),x=-x;
  if(x>9) wri(x/10);
  putchar(x%10+'0');
}
struct node{int u,len,w;bool operator < (const node &o) const {return w>o.w;}};
priority_queue<node>Q;
il void SPFA()
{
  memset(dp,63,sizeof(dp));memset(vis,0,sizeof(vis));
  Q.push((node){1,0,0});dp[0][1]=0;
  while(!Q.empty())
    {
      re node now=Q.top();Q.pop();re int u=now.u,len=now.len%d,w=now.w;
      for(re int i=h[u];i+1;i=e[i].nxt)
	{
	  re int v=e[i].to,lenn=(len+e[i].w)%d;
	  if(dp[lenn][v]>dp[len][u]+e[i].w)
	    {
	      dp[lenn][v]=dp[len][u]+e[i].w;
	      if(!vis[lenn][v]) vis[lenn][v]=1,Q.push((node){v,lenn,dp[lenn][v]});
	    }
	}
      vis[len][u]=0;
    }
}
int main()
{
  freopen("travel.in","r",stdin);
  freopen("travel.out","w",stdout);
  T=gi();
  while(T--)
    {
      n=gi();m=gi();t=gi();
      memset(h,-1,sizeof(h));cnt=0;
      fp(i,1,m)
      {
        re int u=gi()+1,v=gi()+1,w=gi();
        add(u,v,w);add(v,u,w);
      }
      d=1e9;
      for(re int i=h[1];i+1;i=e[i].nxt)
	{
	  re int v=e[i].to;
	  if(v^1) d=min(d,e[i].w);
	}
      d<<=1;
      SPFA();
      puts(dp[t%d][n]<=t?"Possible":"Impossible");
    }
  fclose(stdin);
  fclose(stdout);
  return 0;
}