[HNOI2015]落忆枫音

https://zybuluo.com/ysner/note/1109824

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题面

给一DAG，问加上一条边后以\(1\)为起点的生成树的方案数。

解析

考虑到每个点父亲的唯一性，对于一个单纯的DAG，\(ans=\prod_{i=1}^n in[i]\)（\(in[i]\)表示\(i\)点的入度).
现在加了一条边\((x,y)\)，有可能出现环，于是我们要减去有环的情况。设环上的点为\(a_1,a_2...a_k\)，于是该情况方案数为\(\frac{ans}{\prod_{i=1}^kin[a_i]}\)（即环上点父亲固定，其它点任选）。
怎么统计呢?
设\(dp[i]\)表示从\(y\)到\(i\)的路径上上面式子的值，则\(dp[i]=\frac{1}{in[i]}\sum dp[j](j\in i的未统计的邻点）\)（这就是一个累乘的过程)
我们可以建反向边，从\(x\)出发（这样能证明其为环），找到\(y\)后回溯返回\(\frac{ans}{in[y]}\),否则返回\(0\),最后答案在\(dp[x]\)里。
答案为\(\prod_{i=1}^n in[i]-dp[x]\)

il void dfs(re int u)
{
  if(vis[u]) return;vis[u]=1;
  if(u==y) {dp[u]=1ll*sum*ksm(in[u],mod-2)%mod;return;}
  for(re int i=h[u];i+1;i=e[i].next)
    {
      re int v=e[i].to;
      dfs(v);
      dp[u]=(dp[u]+dp[v])%mod;
    }
  dp[u]=1ll*dp[u]*ksm(in[u],mod-2)%mod;
}
int main()
{
  memset(h,-1,sizeof(h));
  n=gi();m=gi();x=gi();y=gi();
  fp(i,1,m)
    {
      re int u=gi(),v=gi();
      add(v,u);in[v]++;
    }
  ++in[1];//！！！！！！！
  fp(i,1,n)
    {
      if(i==y) ans=1ll*ans*(in[i]+1)%mod;
      else ans=1ll*ans*in[i]%mod;
      sum=1ll*in[i]*sum%mod;
    }
  dfs(x);
  printf("%lld\n",(1ll*mod+ans-dp[x])%mod);
  return 0;
}