洛谷P1017 进制转换
洛谷P1017 进制转换
题目描述
我们可以用这样的方式来表示一个十进制数: 将每个阿拉伯数字乘以一个以该数字所处位置的(值减1)为指数,以10为底数的幂之和的形式。例如:123可表示为 $1102+2*101+310^0$ 这样的形式。
与之相似的,对二进制数来说,也可表示成每个二进制数码乘以一个以该数字所处位置的(值-1)为指数,以2为底数的幂之和的形式。一般说来,任何一个正整数R或一个负整数-R都可以被选来作为一个数制系统的基数。如果是以R或-R为基数,则需要用到的数码为 0,1,....R-1。例如,当R=7时,所需用到的数码是0,1,2,3,4,5和6,这与其是R或-R无关。如果作为基数的数绝对值超过10,则为了表示这些数码,通常使用英文字母来表示那些大于9的数码。例如对16进制数来说,用A表示10,用B表示11,用C表示12,用D表示13,用E表示14,用F表示15。
在负进制数中是用-R 作为基数,例如-15(十进制)相当于110001(-2进制),并且它可以被表示为2的幂级数的和数:
$$110001 = 1{(-2)}^{5} +1^{4} +0{(-2)}^{3} +0^{2} +0{(-2)}^{1} +1^{0} $$
设计一个程序,读入一个十进制数和一个负进制数的基数, 并将此十进制数转换为此负进制下的数:$-R \in {-2,-3,-4,...,-20}$
输入输出格式
输入格式：
输入的每行有两个输入数据。
第一个是十进制数$N, －32768 \le N \le 32767$； 第二个是负进制数的基数$-R \in {-2,-3,-4,...,-20}$。
输出格式：
结果显示在屏幕上，相对于输入，应输出此负进制数及其基数，若此基数超过$10$，则参照$16$进制的方式处理。
输入输出样例
| 输入样例 | 输出样例 |
|---|---|
| 30000 -2 | 30000=11011010101110000(base-2) |
| -20000 -2 | -20000=1111011000100000(base-2) |
| 28800 -16 | 28000=19180(base-16) |
| -25000 -16 | -25000=7FB8(base-16) |
说明
NOIP2000提高组第一题
题目中的例子：
$$(-15) = 1{(-2)}^{5} +1^{4} +0{(-2)}^{3} +0^{2} +0*{(-2)}^{1} +1 $$
最后一项的系数是1，而前面几项的系数都是(-2)的幂，也就是说，用取模能得到最后一项：
$$(-15) \mod (-2) = 1$$
接下来剩下的几项系数就全是(-2)的幂了。先把次数降一位，然后再用一样的方法，就能得到倒数第二位：
$$ \frac{1{(-2)}^{5} +1^{4} +0{(-2)}^{3} +0^{2} +0*{(-2)}^{1}}{(-2)} $$
$$ \Rightarrow 1{(-2)}^{4} +1^{3} +0{(-2)}^{2} +0^{1} +0$$
这样操作下来就行啦。但是还有一个问题：
$$ -15 \mod -3 = 0
\ \frac{-15}{-3} = 5
\ 5 \mod -3 = 2
\ \frac{5}{-3} = -1
\ -1 \mod -3 = -1
\ \frac{-1}{-3} = 0 $$
我们这里得到了$ -15 = -1(-3)^2 + 2(-3)^1 + 0$ ，是正确的，但是最高项是$-1$，是个负数，写不出来。怎么办呢？
可以把$-1$加上$3$（因为我们要转换到$-3$进制），然后得到$2$。再添上一个$1-3^3$，式子就变成了$-15 = 1(-3)^3 + 2(-3)^2 + 2(-3)^1 + 0$，去掉了负数，可以表示出来了。
更一般地，设$x$是个正数，假如我们有$A = (-x)(-b)^{n}$，我们可以把它变成$A = 1(-b)^{n+1} + (b-x)*(-b)^{n}$。证明如下：
$$ 1(-b)^{n+1} + (b-x)(-b)^{n}
\ = (-b)(-b)^{n} + b(-b)^{n} + (-x)(-b)^{n}
\ = (-x)(-b)^{n}$$
下面是实现：
#include <stdio.h>
const char cmap[] = "0123456789ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ";
int main(void) {
int n, base;
int res[1000];
int *resp;
#ifdef LOCAL
freopen("1.txt", "r", stdin);
#endif
while (~scanf("%d%d", &n, &base)) {
resp = res+1;
*resp = 0;
printf("%d=", n);
for (; n; ++resp) {
*resp = n % base;
n /= base;
if (*resp < 0) {
*resp -= base;
++n;
}
}
for (--resp; resp != res; --resp) {
printf("%c", cmap[*resp]);
}
printf("(base%d)\n", base);
}
return 0;
}
