每一个JavaScript开发者应该了解的浮点知识

在JavaScript开发者的开发生涯中的某些点，总会遇到奇怪的BUG——看似基础的数学问题，但却又觉得有些不对劲。总有一天，你会被告知JavaScript中的数字实际上是浮点数。试图了解浮点数和为什么他们如此奇怪，迎接你的将是一片又臭又长的文章。本文的目的是给JavaScript开发者简单讲解浮点数。

本文假设读者熟悉的用二进制表示的十进制数字（即1被写成1b，2是10b，3是11b，4是100b……等）。为了使文章表达的更清楚，在本章中，“十进制”主要是指计算机内部的十进制数字表示法（例如：2.718）。“二进制”在本文中指计算机内部的表示。书面陈述将分别被称为“以十为底″和“以二为底″。

浮点数

什么是浮点数，我们开始认为我们见过各种数字，我可可以说1是一个整数，因为它没有分数部分。

½被称为分数。这意味着，将一平均分开为二，分数是浮点运算中一个非常重要的概念。

0.5通常被称为一个十进制数。然而，有一个很重要的区别必须阐明——0.5实际上是分数½的十进制（以十为底）表示。本文中，我们将这种表示方法称为点表示法。我们把0.5称为有限表示（有限小数）因为其分数表示的数字是有限的——5后面没有其他数字。表示⅓的0.3333…是无限表示的例子。这个想法在我们的讨论非常重要。 

还存在另一种表示全部整数，分数或小数的方法。你可能已经见过。它看起来像这样：6.022×1023（注：这是阿伏伽德罗数，这是摩尔的化学溶液中的分子的数目）。它通常被称为标准形式，或科学记数法。形式可以被抽象为像下面这样：

D1.D2D3D4...Dp x BE

这种通用形式被称作浮点数。

由p和D组成的序列——D1.D2D3D4...Dp——被称为有效数字或尾数。p是有效数字的权重，通常称为精度。有效数后的x是符号的一部分（本文中的乘法符号，将用*表示）。其后是基数，基数后是指数。该指数可以是正或负。

浮点数的好处是它可以用来表示任何数值。例如，整数1可以表示为1.0×100。光的速度可以表示为2.99792458×108 m/s。1/2可以被表示为二进制形式0.1×20。

移除小数点

在上面的例子中，我们仍然保留小数点（小数点在数字里面）。当用二进制表示数值的时候，这带来了一些问题。任意给定一个浮点数，比如π（PI），我们可以将其表示为一个浮点数：3.14159 x 100。用二进制表示，它看起来像这样：11.00100100 001111……假设在十六位机里表示数字，这意味着数字被放在机器里会是这样的：11001001000011111。现在的问题是：小数点应该放在哪里？这甚至不涉及指数（我们默认基数为2）。

如果数字变为5.14159？整数部分将变为101而不是11，增加了一位。当然，我们可以指定字段的前N位属于整数部分（即小数点的左边），其余属于小数部分，但那是另一篇关于定点数的话题。

一旦我们移除小数点后，我们只有两件东西需要记录：指数和尾数。我们可以通过应用变换公式将小数点移除，使广义浮点数看起来像这样：

D1D2D3D4...Dp / (Bp-1) x BE

这就是我们得到的大多数二进制浮点数。注意，现在有效数是一个整数。这使得它更易于存储一个浮点数在机器上。事实上，应用最广泛的二进制浮点数表示方法是IEEE 754标准。

IEEE 754

JavaScript中的浮点数采用IEEE-754格式的规定。更具体的说是一个双精度格式，这意味着每个浮点数占64位。虽然它不是二进制表示浮点数的唯一途径，但它是目前最广泛使用的格式。该格式用64位二进制表示像下面这样：

你可能注意到机器表示的方法和约定俗成的书面表示一点不同。在64位中，1位用于标志位——用来表示一个数是正数还是负数。11位用于指数–这允许指数最大到1024。剩下的52位代表的尾数。如果你曾经好奇为什么JavaScript中的某些东西如+0 和 -0，标志位说明一切——JavaScript中的所有数字都有符号位。Infinity和NaN也被编码进浮点数——2047作为一个特殊的指数。如果尾数是0，它是一个正无穷或负无限。如果不是，那么它是NaN。

舍入误差

有了上面对浮点数进行介绍，现在我们进入了一个更棘手的问题–舍入误差。它是所有开发者使用浮点数开发的祸根，JavaScript开发者尤其如此，因为JavaScript开发者唯一可用的编号格式是浮点数。

上面提到的分数⅓不能在以10为底中有限表示。这实际上在任何数制中都存在。例如，在在以二为底的数字中，1 / 10不能有限表示。被表示为0.00110011001100110011……注意0011是无限重复的。这是因为这个特别的怪癖，舍入误差造成的。

先看一个舍入误差的例子。考虑一个最著名的无理数，PI：3.141592653589793……大多数人记得前五位（3.1415）非常棒——我们将使用这个例子说明舍入误差，因此可以计算舍入误差：

• (R - A) / Bp-1

……其中R代表圆形的半径，A代表一个实数。Bp代表以p为底的精度。所以谨记PI的舍入误差：0.00009265……。

虽然这看起似乎不是很严重，让我们试着用以二为底的数来检验这个想法。考虑分数1 / 10。在十进制，它被写作0.1。在二进制中，它是：0.0011001100110011……假设我们仅保留5位尾数，可以写为0.0001。但0.0001在二进制表示法中实际是1 / 16（或0.0625）的表示！这意味着有舍入误差为0.0375，这是相当大的。想象一下基本的加法运算，如0.1 + 0.2，答案返回0.2625！

幸运的是，浮点规范指定ECMAScript最多使用52个尾数，所以舍入误差变得很小——规范的具体细节规避了大部分的舍入误差。因为对浮点数进行算术运算的过程中误差会被放大，IEEE 754规范还包括用于数学运算的具体算法。

然而，应该指出的是，尽管如此，算术运算的关联属性（比如加法，减法，乘法和减法）不能得到保证在处理浮点数时，即使精度再高。我的意思是，（（x + y）+ A + B）不一定等于（（x + y）+（A + B））。

这是JavaScript开发人员的祸根。例如，在JavaScript中，0.1 + 0.2 = = = 0.3将返回假。我希望你现在明白这是为什么。更糟的是，事实上，舍入误差会在连续的数学运算中增加（积累）。

在JavaScript处理浮点数

设计处理JavaScript数字的问题，已经存在很多的建议，好坏参半。大多数这些建议都是在算数运算之前或之后完成取舍。

到目前位置我见过的寥寥无几的建议就是把运算数全部存储为整数（无类型），然后格式化显示。通过一个例子可以看出，在账户中大量储存的美分而不是美元（不知道举的例子是什么账户）。这里有一个值得注意的问题——不是世界上所有的货币都是十进制的（毛里求斯币：毛里求斯卢比是毛里求斯共和国的流通货币。币值有25、50、100、200、500、1000和2000。辅币单位为分）。同时，吐槽了日元和人名币……。最终，你会重新创建浮点——有可能。

我见过处理浮点数最好的建议是使用库，像sinfuljs或mathjs。我个人比较喜欢mathjs（但实际上，任何和数学相关的我甚至不会使用JavaScript去做）。当需要任意精度数学计算的时候，BigDecimal也是非常有用的。

另一个被多次重复的建议是使用内置的toPrecision()和toFixed()方法。使用他们时最容易犯得逻辑错误是忘记这些方法的返回值字符串。所以如果你像下面这样会得不到想要的结果：

function foo(x, y) {
    return x.toPrecision() + y.toPrecision()
}

> foo(0.1, 0.2)
"0.10.2"

设计内置方法toPrecision()和toFixed()的目的仅是用于显示。谨慎使用！

结论

JavaScript中的数字是真正的浮点数。由于二进制表示的固有缺陷，以及有限的机器空间，我们不得不面对一个充满舍入误差的规范。本文解释了为什么这些舍入误差是什么和为什么。记住使用一个很棒的库而不是自己去做一切。

注

原文：http://flippinawesome.org/2014/02/17/what-every-javascript-developer-should-know-about-floating-points/

Q群推荐

CSS家园188275051，CSS开发者的天堂，欢迎有兴趣的同学加入

JavaScript家园159973528，JavaScript开发者的天堂，欢迎有兴趣的同学加入