快速傅里叶变换学习笔记

快速傅里叶变换

学习这个很久了，由于网上没有为初学者写的详细的教程，走了很多弯路。特此写一篇文章。特此写一篇文章。

考虑两个多项式$\displaystyle f(x)=\sum_{i=0}^{n}a_ix^i,g(x)=\sum_{i=0}^{n}b_ix^i$，如果我们得到他们的卷积$h=f*g$，直接用系数表示进行计算的话，时间复杂度为$\mathcal O(n^2)$的。因此，我们考虑用点值表示法。也就是说，如果我们知道

$$\mathcal f(x)=\{(x_1,y_1),(x_2,y_2)\cdots(x_n,y_n)\}$$

$$g(x)=\{(x_1,y'_1),(x_2,y'_2)\cdots(x_n,y'_n)\}$$

就可以得到

$$\mathcal h(x)=\{(x_1,y_1y'_1),(x_2,y_2y'_2)\cdots(x_n,y_ny'_n)\}$$

这样做就变成$\mathcal O(n)$了。

那么现在问题变成了如何求得$f$的点值表示？这里我们就需要用到快速傅里叶变换。我们考虑对$f(x)$进行变形 ，为了叙述方便，我们假设多项式的项数$n$满足$n=2^k-1,k\in\mathbb{Z}$,不足的项系数为$0$。

$$f(x) =\sum_{i=0}^{n}a_ix^i\\ f(x)= \sum_{i=0}^{\frac{n-1}{2}}a_{2i+1}x^{2i+1}+\sum_{i=0}^{\frac{n-1}{2}}a_{2i}x^{2i}\\ f(x)=x\sum_{i=0}^{\frac{n-1}{2}}a_{2i+1}x^{2i}+\sum_{i=0}^{\frac{n-1}{2}}a_{2i}x^{2i}$$

我们假设

$$\mathcal G(x)= \sum_{i=0}^{\frac{n-1}{2}}a_{2i+1}x^{2i}\\ \mathcal H(x)=\sum_{i=0}^{\frac{n-1}{2}}a_{2i}x^{2i}$$

那么有

$$f(x)=x\mathcal G(x^2)+\mathcal H(x^2)$$

假设$\mathcal \omega_n$为单位复根，即$\mathcal \omega_n$满足

$$\mathcal \omega_n^n=1$$

那么有

$${\rm DFT}(f(\mathcal \omega_n^k))= \omega_n^k{\rm DFT}(\mathcal G(\mathcal \omega_n^{2k}))+{\rm DFT}(\mathcal H(\mathcal \omega_n^{2k}))\\ {\rm DFT}(f(\mathcal \omega_n^k))=\mathcal \omega_n^k{\rm DFT}(\mathcal G(\mathcal \omega_{\frac n2}^{k}))+{\rm DFT}(\mathcal H(\mathcal \omega_{\frac n2}^{k}))$$

同理

$${\rm DFT}(f(\mathcal \omega_n^{{\frac n2}+ k}))=\mathcal \omega_n^k{\rm DFT}(\mathcal G(\mathcal \omega_{n}^{2k+n}))+{\rm DFT}(\mathcal H(\mathcal \omega_n^{2k+n}))\\ {\rm DFT}(f(\mathcal \omega_n^{{\frac n2}+ k}))=-\mathcal \omega_n^k{\rm DFT}(\mathcal G(\mathcal \omega_{\frac n2}^{k}))+{\rm DFT}(\mathcal H(\mathcal \omega_{\frac n2}^{k}))$$

至此，我们完成了计算。一共$\mathcal O(\log n)$层，每层处理$\mathcal O(n)$，时间复杂度$\mathcal O(n\log n)$。